Questão 29 de Função quadrática · otimização de área estilo ENEM resolvida

Enunciado

Uma oficina dispõe de 120 m de tela para delimitar um setor retangular de armazenamento junto a uma parede retilínea do galpão. A parede será usada como um dos lados do setor, sem receber tela. Os outros três lados serão cercados. Para separar dois tipos de peças, haverá ainda uma divisória de tela, perpendicular à parede, ligando-a ao lado oposto. A divisória poderá ficar em qualquer posição entre as duas laterais. Toda a tela disponível será utilizada, e as espessuras da parede e da tela serão desconsideradas. A maior área que esse setor poderá ocupar, em metro quadrado, é

• A: 1 200.
• B: 1 600.
• C: 1 800.
• D: 2 400.
• E: 3 600.

Resolução comentada

Resposta: A

Se $x$ é a distância da parede ao lado oposto e $y$ é o comprimento paralelo à parede, a tela cobre três trechos de comprimento $x$ — as duas laterais e a divisória — e um trecho de comprimento $y$. Assim, $3x+y=120$. A área é $A(x)=xy=x(120-3x)=-3(x-20)^2+1\,200.$ O termo quadrado é não negativo, portanto a maior área é 1 200 m², obtida com $x=20$ m e $y=60$ m. Essas medidas são positivas e usam exatamente 120 m de tela. Ignorar a divisória daria a restrição incorreta $2x+y=120$ e a área máxima 1 800 m².