Questão 34 de Contagem · formação de equipe de laboratório estilo ENEM resolvida

Enunciado

Um laboratório formará uma equipe para validar um novo procedimento de análise. A equipe será composta por exatamente dois técnicos e um biomédico, escolhidos entre quatro técnicos e três biomédicos habilitados. Esses sete profissionais são pessoas diferentes. Os dois técnicos terão a mesma função na equipe, sem distinção entre primeiro e segundo técnico. Uma expressão que representa o número de equipes distintas que podem ser formadas é

• A: $4\cdot3$.
• B: $4\cdot3\cdot3$.
• C: $\dfrac{4\cdot3\cdot3}{3!}$.
• D: $\dfrac{4\cdot3}{2}+3$.
• E: $\dfrac{4\cdot3}{2}\cdot3$.

Resolução comentada

Resposta: E

Entre os quatro técnicos, existem $4\cdot3/2=6$ pares diferentes. A divisão por 2 impede contar o mesmo par nas duas ordens possíveis. Para cada par, há 3 escolhas do biomédico, de modo que a expressão correta é $\frac{4\cdot3}{2}\cdot3=18.$ O produto $4\cdot3$ escolhe apenas um técnico e um biomédico; $4\cdot3\cdot3$ distingue indevidamente a ordem dos dois técnicos. Dividir esse último produto por $3!$ também seria incorreto, pois o biomédico já tem uma função distinta e não ocupa uma das posições de técnico. Por fim, as escolhas de um par e de um biomédico devem ser multiplicadas, não somadas.