Questão 40 de Função trigonométrica · janela de operação estilo ENEM resolvida

Enunciado

Para planejar a passagem de uma embarcação por um canal, foi adotado um modelo para a profundidade da água durante um intervalo de 12 horas. Nesse modelo, $h(t)=2-\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right),\quad 0\leq t\leq12,$ em que $h$ é a profundidade, em metro, e $t$ é o tempo, em hora, contado a partir do início do intervalo. O argumento do cosseno está em radianos. A embarcação só pode utilizar o canal quando a profundidade é de pelo menos 2,5 m. Durante esse intervalo de 12 horas, o tempo total em que o canal pode ser utilizado pela embarcação é de

• A: 2 horas.
• B: 4 horas.
• C: 6 horas.
• D: 8 horas.
• E: 10 horas.

Resolução comentada

Resposta: B

A condição de passagem é $2-\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\geq2{,}5 \quad\Rightarrow\quad \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\leq-\frac12.$ Durante um ciclo, de 0 a $2\pi$, o cosseno é menor ou igual a $-1/2$ entre $2\pi/3$ e $4\pi/3$. Portanto, $\frac{2\pi}{3}\leq\frac{\pi t}{6}\leq\frac{4\pi}{3} \quad\Rightarrow\quad4\leq t\leq8.$ O canal pode ser utilizado durante $8-4=4$ horas. O instante de profundidade máxima é 6 horas, mas ele não é a duração da janela de passagem. O limite de 2,5 m é mais exigente do que a profundidade média de 2 m, então a janela ocupa menos da metade do ciclo.