Questão 10 de Polinômios e relações entre raízes estilo FUVEST resolvida

Enunciado

Um polinômio mônico de terceiro grau é dado por $ P(x)=x^3-6x^2+ax+b. $ Sabe-se que 2 é uma raiz de $P$ e que suas três raízes reais $r_1,r_2,r_3$, contadas com suas multiplicidades, satisfazem $ r_1^2+r_2^2+r_3^2=14. $ O valor de $a+b$ é

• A: $-17$.
• B: $-5$.
• C: $5$.
• D: $11$.
• E: $17$.

Resolução comentada

Resposta: C

A soma das raízes é 6, e a soma dos produtos dois a dois é $a$. Logo, $ 14=(r_1+r_2+r_3)^2-2(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)=36-2a. $ Portanto, $a=11$. Como $P(2)=0$, temos $8-24+22+b=0$, de modo que $b=-6$. Assim, $a+b=5$. Para conferir a consistência das condições, o polinômio obtido é $(x-1)(x-2)(x-3)$, cujas raízes têm soma dos quadrados igual a 14. O termo independente é o oposto do produto das raízes.