Questão 11 de Geometria espacial e semelhança de sólidos estilo FUVEST resolvida

Enunciado

Um reservatório tem a forma de um cilindro circular reto de altura 4 m, encimado por um cone circular reto de altura 6 m. O cone e o cilindro têm bases de mesmo raio, e o vértice do cone é o ponto mais alto do reservatório. A água alcança uma altura de 7 m a partir do fundo, conforme a figura.  A fração do volume total do reservatório ocupada pela água é

• A: $\dfrac7{10}$.
• B: $\dfrac34$.
• C: $\dfrac78$.
• D: $\dfrac{23}{24}$.
• E: $\dfrac56$.

Resolução comentada

Resposta: D

Seja $r$ o raio comum. Os volumes do cilindro e do cone são $4\pi r^2$ e $\frac13\pi r^2\cdot6=2\pi r^2$. O volume total é $6\pi r^2$. A parte vazia é um cone de altura 3 m, semelhante ao cone completo de altura 6 m. A razão linear é $1/2$, portanto a razão entre volumes é $(1/2)^3=1/8$. O volume vazio é $2\pi r^2/8=\pi r^2/4$. A fração ocupada é $ 1-\frac{\pi r^2/4}{6\pi r^2}=1-\frac1{24}=\frac{23}{24}. $ Uma altura correspondente a 70% da altura total não implica 70% do volume, pois a seção transversal varia na parte cônica.