Questão 12 de Função modular e número de soluções estilo FUVEST resolvida

Enunciado

Considere a família de equações $ |x^2-4x+3|=k, $ em que $k$ é um número real não negativo. Para qual valor de $k$ a equação possui exatamente três soluções reais distintas?

• A: 1.
• B: 0.
• C: 2.
• D: 3.
• E: 4.

Resolução comentada

Resposta: A

Completando o quadrado, o polinômio interno é $(x-2)^2-1$, cujo mínimo é $-1$. Para $k>0$, a equação modular equivale a duas equações: $ (x-2)^2=k+1. $ $ (x-2)^2=1-k. $ A primeira sempre possui duas soluções distintas. A segunda possui duas se $0<k<1$, uma se $k=1$ e nenhuma se $k>1$. Para $k=1$, surgem $x=2-\sqrt2$, $x=2$ e $x=2+\sqrt2$: exatamente três. Para $k=0$, as duas equações coincidem e há apenas $x=1$ e $x=3$. É necessário contar soluções distintas, sem duplicar raízes coincidentes.