Questão 4 de Geometria plana e semelhança estilo FUVEST resolvida

Enunciado

Uma placa triangular tem a forma de um triângulo retângulo com catetos de 6 cm e 8 cm. Dela será recortado um quadrado, com um vértice no vértice do ângulo reto, dois lados apoiados nos catetos e o vértice oposto sobre a hipotenusa, como na figura.  As medidas de 6 cm e 8 cm indicadas na figura referem-se aos catetos inteiros do triângulo. A área desse quadrado, em centímetros quadrados, é

• A: $\dfrac{576}{49}$.
• B: $12$.
• C: $\dfrac{144}{25}$.
• D: $\dfrac{48}{7}$.
• E: $24$.

Resolução comentada

Resposta: A

Seja $s$ o lado do quadrado. O pequeno triângulo à direita do quadrado tem catetos $s$ e $8-s$ e é semelhante ao triângulo original. Assim, $ \frac{s}{8-s}=\frac68. $ Daí, $8s=48-6s$, de modo que $s=24/7$ cm. A área é $ s^2=\frac{576}{49}\ \text{cm}^2. $ Também é possível usar a equação da hipotenusa, $x/8+y/6=1$, substituindo o vértice $(s,s)$. O resultado $48/7$ corresponde a $2s$, e não à área; a área do triângulo inteiro é 24 cm².