Questão 5 de Progressão geométrica, área e logaritmos estilo FUVEST resolvida

Enunciado

Uma sequência de imagens quadradas é produzida por reduções sucessivas. A imagem inicial é chamada de etapa 0. Em cada nova etapa, o lado do quadrado passa a medir $\dfrac34$ do lado da etapa anterior. Qual é a primeira etapa em que a área da imagem fica estritamente menor que 1% da área inicial? Note e adote: use $\log_{10}(4/3)=0{,}125$ nesta questão.

• A: 4.
• B: 8.
• C: 9.
• D: 16.
• E: 17.

Resolução comentada

Resposta: C

O fator de redução da área é o quadrado do fator de redução do lado. Na etapa $n$, $ \frac{A_n}{A_0}=\left(\frac34\right)^{2n}. $ Para que essa razão seja menor que $10^{-2}$, aplicamos logaritmos: $ -2n\log_{10}(4/3)<-2. $ Com o valor fornecido, $-0{,}25n<-2$, ou $n>8$. A primeira etapa inteira é 9. Mesmo usando o logaritmo mais preciso, aproximadamente 0,12494, a etapa encontrada permanece 9. A etapa 8 não atende à desigualdade estrita. Usar o fator $3/4$ diretamente para a área confunde comprimentos com áreas.