Questão 6 de Análise combinatória e caminhos em malha estilo FUVEST resolvida

Enunciado

Um robô se desloca pelos segmentos de uma malha quadrada, do ponto $O=(0,0)$ ao ponto $D=(4,4)$. Cada movimento o leva uma unidade para a direita ou uma unidade para cima. Por manutenção, o ponto $P=(2,2)$ está interditado: o robô não pode passar por ele.  O número de trajetos possíveis nessas condições é

• A: 16.
• B: 28.
• C: 36.
• D: 34.
• E: 70.

Resolução comentada

Resposta: D

Todo trajeto de $O$ a $D$ tem quatro movimentos para a direita e quatro para cima. Sem a interdição, há $\binom84=70$ trajetos. Para passar por $P$, o robô deve fazer dois movimentos em cada direção antes de chegar a $P$, e outros dois em cada direção após sair dele. Há $\binom42=6$ possibilidades em cada parte, totalizando $6\cdot6=36$ trajetos proibidos. Portanto, restam $ 70-36=34. $ As duas partes de um trajeto que passa por $P$ devem ser combinadas por multiplicação, não por adição. Subtrair apenas seis não elimina todos os trajetos que passam pelo ponto interditado.