Questão 7 de Equações trigonométricas e análise de resolução estilo FUVEST resolvida

Enunciado

Para resolver $\sin(2x)=\sin x$, no intervalo $0\leq x<2\pi$, um estudante escreveu: $ 2\sin x\cos x=\sin x. $ Em seguida, dividiu os dois lados por $\sin x$, concluiu que $\cos x=1/2$ e apresentou apenas $x=\pi/3$ e $x=5\pi/3$ como soluções. A avaliação correta dessa resolução é:

• A: A identidade utilizada está correta, mas a divisão excluiu os casos $\sin x=0$, e a equação tem quatro soluções no intervalo.
• B: A identidade utilizada está incorreta, pois $\sin(2x)=2\sin x$ para todo $x$.
• C: A divisão é válida para todo $x$, e as duas soluções apresentadas são as únicas.
• D: A divisão excluiu apenas $x=2\pi$, que deve ser incluído, totalizando três soluções.
• E: A resolução está correta até a divisão, mas $\cos x=1/2$ possui quatro soluções no intervalo indicado.

Resolução comentada

Resposta: A

Dividir por uma expressão que pode valer zero exige tratar separadamente esses casos. A equação equivalente, sem divisão, é $ \sin x(2\cos x-1)=0. $ No intervalo dado, $\sin x=0$ fornece $x=0$ e $x=\pi$; $\cos x=1/2$ fornece $x=\pi/3$ e $x=5\pi/3$. São quatro soluções. O valor $2\pi$ é excluído pelo intervalo. A identidade do seno do arco duplo empregada pelo estudante é válida; o problema está na perda de soluções durante a divisão.