Questão 9 de Geometria analítica e tangência estilo FUVEST resolvida

Enunciado

Em um mapa cartesiano, uma região circular de acesso restrito é descrita por $ (x-3)^2+(y-4)^2\leq4. $ Duas rotas retilíneas passam pela origem e são tangentes à borda dessa região. Suas equações são $y=m_1x$ e $y=m_2x$. A soma $m_1+m_2$ é

• A: $\dfrac43$.
• B: $\dfrac{24}{5}$.
• C: $\dfrac{12}{5}$.
• D: $\dfrac52$.
• E: $\dfrac{48}{5}$.

Resolução comentada

Resposta: B

O centro é $C=(3,4)$ e o raio é 2. A reta $y=mx$ tem equação $mx-y=0$. Para ser tangente, a distância do centro à reta deve ser igual ao raio: $ \frac{|3m-4|}{\sqrt{m^2+1}}=2. $ Elevando ao quadrado e reorganizando, $ 5m^2-24m+12=0. $ Há duas raízes reais distintas, pois o discriminante é positivo. Pela relação entre coeficientes e raízes, a soma é $24/5$. O número $4/3$ é a inclinação da reta que liga a origem ao centro, e não a soma das inclinações das tangentes.