Questão 1 de Mecânica estilo IME resolvida

Enunciado

Uma esfera de massa $2{,}0\ \text{kg}$ descreve uma circunferência horizontal de raio $3{,}0\ \text{m}$, ligada por dois fios ideais de $5{,}0\ \text{m}$ a pontos fixos de um eixo vertical. Os pontos de fixação estão $4{,}0\ \text{m}$ acima e abaixo do plano da trajetória, como mostra a figura. Considere $g=10\ \text{m/s}^2$.  (a) Para velocidade angular $\omega=2{,}0\ \text{rad/s}$, determine a tração em cada fio. (b) Determine a menor velocidade angular para que os dois fios possam permanecer esticados nessa geometria. (c) Mantendo os dois fios esticados, determine o trabalho total das forças sobre a esfera durante meia volta. Justifique.

Resolução comentada

Resposta: (a) Fio superior: $32{,}5\ \text{N}$; inferior: $7{,}5\ \text{N}$. (b) $\omega_{\min}=\sqrt{2{,}5}\ \text{rad/s}\simeq1{,}58\ \text{rad/s}$, com tração inferior nula no limite. (c) Trabalho total nulo.

Cada fio forma com a vertical um ângulo cujo seno é $3/5$ e cosseno $4/5$. No equilíbrio vertical, $(4/5)(T_s-T_i)=mg=20$, de modo que $T_s-T_i=25\ \text{N}$. Na direção horizontal centrípeta, $(3/5)(T_s+T_i)=m\omega^2r$. Para $\omega=2$, a soma é $40\ \text{N}$. Portanto, $T_s=32{,}5$ e $T_i=7{,}5\ \text{N}$. Em geral, $T_s+T_i=5m\omega^2$ e $T_s-T_i=5mg/4$. Como um fio não sustenta compressão, $T_i\geq0$ exige $\omega^2\geq g/4=2{,}5\ \text{s}^{-2}$. Na igualdade, o fio inferior está no limite de perder tensão; para ambos terem tração estritamente positiva, requer-se $\omega>\omega_{\min}$. A velocidade é horizontal e tangencial. O peso é vertical e as trações estão no plano vertical radial, logo todas as forças são perpendiculares ao deslocamento em cada instante. Seu trabalho é zero, coerente com a energia cinética constante.