Questão 10 de Eletromagnetismo estilo IME resolvida

Enunciado

Uma barra condutora de massa $0{,}50\ \mathrm{kg}$ e comprimento $0{,}50\ \mathrm m$ move-se para a direita sobre dois trilhos paralelos situados num plano horizontal, em campo magnético uniforme de $1{,}0\ \mathrm T$, entrando no plano dos trilhos. Na figura, o circuito é visto de cima; “para baixo na barra” indica o sentido do topo para a base da figura. Uma fonte ideal de força eletromotriz $\mathcal E$ e um resistor de resistência $R$ fecham o circuito. A fonte mantém corrente convencional para baixo na barra. As resistências da barra e dos trilhos são desprezíveis, e não há atrito nem autoindução. Um controlador aplica à barra uma força horizontal $F$, positiva para a direita, para produzir o movimento da tabela. Entre os registros, velocidade e corrente variam linearmente.  | $t$ (s) | $v$ (m/s) | $I$ (A) | | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 3,0 | | 1 | 2,0 | 2,5 | | 2 | 4,0 | 2,0 | (a) Determine $\mathcal E$ e $R$. (b) Determine a força aplicada pelo controlador em $t=1\ \mathrm s$, incluindo o sentido. (c) Um calorímetro ideal mede uma energia total de $76/3\ \mathrm J$ dissipada no resistor entre $0$ e $2\ \mathrm s$. Determine a energia fornecida pela fonte e o trabalho realizado pelo controlador nesse intervalo. Interprete o sinal desse trabalho. (d) Mantendo o mesmo circuito, a fonte, o resistor e o campo de (a), em outros ensaios com velocidade constante, considere o intervalo em que a corrente ainda tem o sentido informado. Determine a velocidade para a qual é máxima a potência mecânica da força magnética e calcule essa potência.

Resolução comentada

Resposta: (a) $\mathcal E=6{,}0\ \mathrm V$ e $R=2{,}0\ \Omega$. (b) $F=-0{,}25\ \mathrm N$: para a esquerda. (c) Fonte: $30\ \mathrm J$; controlador: $-2/3\ \mathrm J$, retirando energia mecânica. (d) $v=6{,}0\ \mathrm{m/s}$ e $\mathcal P_{\max}=4{,}5\ \mathrm W$.

A força magnética sobre a corrente para baixo aponta para a direita. O movimento para a direita gera na barra uma fem $BLv$, positiva no terminal superior, que se opõe à fonte. Portanto, $\mathcal E-BLv=RI$. Em $t=0$, $\mathcal E=3R$; em $t=2$, $\mathcal E-2=2R$. Logo, $R=2\ \Omega$ e $\mathcal E=6\ \mathrm V$. No intervalo, $a=(4-0)/2=2\ \mathrm{m/s^2}$. Em $t=1$, $F_m=BLI=1{,}25\ \mathrm N$. Como $ma=1{,}0\ \mathrm N$, $F=ma-F_m=-0{,}25\ \mathrm N$. A carga que atravessa a fonte é a área do trapézio no gráfico $I\times t$: $\Delta q=[(3+2)/2]\,2=5\ \mathrm C$. A fonte fornece $E_s=\mathcal E\Delta q=30\ \mathrm J$. A energia cinética aumenta em $\Delta K=(0{,}50)(4^2)/2=4\ \mathrm J$. O balanço do conjunto dá $E_s+W_F=Q_R+\Delta K$, logo $W_F=76/3+4-30=-2/3\ \mathrm J$. O controlador retira energia. Não é necessário integrar a potência Joule: o calor é um dado experimental independente, compatível com a corrente linear informada. Nos ensaios uniformes, $I=3-v/4$ em ampères, com $0\leq v\leq12\ \mathrm{m/s}$. A potência da força magnética é $\mathcal P=BLIv=3v/2-v^2/8=9/2-(v-6)^2/8$ em watts. O quadrado não negativo mostra que o máximo é $4{,}5\ \mathrm W$ em $v=6\ \mathrm{m/s}$, sem cálculo diferencial.