Questão 2 de Mecânica estilo IME resolvida

Enunciado

Uma partícula de massa $1{,}0\ \text{kg}$ é lançada do solo com velocidade de $20\ \text{m/s}$, formando $30^\circ$ com a horizontal. No ponto mais alto, ela entra em um carrinho de massa $3{,}0\ \text{kg}$, inicialmente parado, e fica presa a ele. O carrinho move-se sobre um trilho horizontal situado na altura desse ponto. Após a colisão, o conjunto percorre $1{,}0\ \text{m}$ e começa a comprimir uma mola ideal horizontal, de constante $50\ \text{N/m}$, fixada à frente. O coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e o trilho é $0{,}25$ em todo o trecho posterior ao impacto. Use $g=10\ \text{m/s}^2$ e despreze resistência do ar e impulsos horizontais externos durante a colisão. (a) Determine a posição do carrinho em relação ao lançamento e o instante da colisão. (b) Determine a velocidade imediatamente após a colisão e a energia cinética perdida nesse choque. (c) Determine a compressão máxima da mola em forma exata.

Resolução comentada

Resposta: (a) $x=10\sqrt3\ \text{m}$, $y=5{,}0\ \text{m}$ e $t=1{,}0\ \text{s}$. (b) $V=5\sqrt3/2\ \text{m/s}$ e perda $112{,}5\ \text{J}$. (c) $x_{\max}=(\sqrt{114}-2)/10\ \text{m}\simeq0{,}868\ \text{m}$.

As componentes iniciais são $v_x=20\cos30^\circ=10\sqrt3$ e $v_y=10\ \text{m/s}$. No ápice, $t=v_y/g=1\ \text{s}$, $y=v_y^2/(2g)=5\ \text{m}$ e $x=v_xt=10\sqrt3\ \text{m}$. Nesse ponto a partícula não tem velocidade vertical. A conservação do momento horizontal no impacto dá $1\cdot10\sqrt3=4V$, logo $V=5\sqrt3/2$. A energia cinética imediatamente anterior é $150\ \text{J}$ e a posterior é $\tfrac12\cdot4\cdot(75/4)=37{,}5\ \text{J}$. A perda é $112{,}5\ \text{J}$. A força de atrito vale $0{,}25\cdot4\cdot10=10\ \text{N}$. Até a mola, dissipa $10\ \text{J}$, restando $27{,}5\ \text{J}$. Durante a compressão $x$, a energia se divide entre a mola e o atrito: $27{,}5=\frac{50x^2}{2}+10x.$ A raiz positiva é $x=(-10+\sqrt{2850})/50=(\sqrt{114}-2)/10\ \text{m}$. A raiz negativa não representa a compressão solicitada. O conjunto atinge a mola porque os $37{,}5\ \text{J}$ iniciais excedem os $10\ \text{J}$ perdidos no percurso anterior.