Questão 3 de Mecânica estilo IME resolvida

Enunciado

Uma treliça plana possui os nós $A=(0,0)$, $B=(4,0)$, $C=(8,0)$ e $D=(4,3)$, com coordenadas em metros, e as cinco barras $AB$, $BC$, $AD$, $BD$ e $CD$. As barras são ideais, de massa desprezível, ligadas por articulações sem atrito e sem transmissão de momentos. O nó $A$ está preso a um pino ancorado que pode exercer forças horizontais e verticais nos dois sentidos; o apoio de roletes em $B$ só exerce reação vertical para cima. Uma carga de $600\ \mathrm N$ atua verticalmente para baixo em $C$. Em $D$ atua uma força horizontal $P$, para a direita.  (a) Para $P=400\ \mathrm N$, determine as componentes das reações em $A$ e $B$. (b) Nessa condição, determine o esforço axial de cada barra, indicando tração ou compressão. (c) Todas as barras suportam esforços axiais de até $2000\ \mathrm N$, tanto em tração quanto em compressão. Mantendo a carga em $C$, determine o maior valor de $P\geq0$ admissível e identifique a barra que primeiro atinge o limite. Desconsidere flambagem e deformações.

Resolução comentada

Resposta: (a) $A_x=-400\ \mathrm N$, $A_y=-900\ \mathrm N$ e $B_y=1500\ \mathrm N$, com direita e cima positivas. (b) $AB$ e $BC$: compressão de $800\ \mathrm N$; $AD$: tração de $1500\ \mathrm N$; $BD$: compressão de $1500\ \mathrm N$; $CD$: tração de $1000\ \mathrm N$. (c) $P_{\max}=800\ \mathrm N$; a barra $AD$ atinge $2000\ \mathrm N$ de tração.

O equilíbrio da treliça inteira fornece $A_x=-P$ e $A_y+B_y=600$. Fazendo momentos em $A$, $4B_y-8(600)-3P=0$, logo $B_y=1200+3P/4$ e $A_y=-600-3P/4$. Em particular, para $P=400$, seguem os valores de (a). O pino ancorado em $A$ pode exercer a reação para baixo indicada; um contato simplesmente apoiado no piso não poderia fazê-lo. Seja $N_{XY}$ positivo para tração. As barras inclinadas têm projeções $4/5$ e $3/5$. No nó $C$, $(3/5)N_{CD}=600$ e $-N_{BC}-(4/5)N_{CD}=0$, dando $N_{CD}=1000$ e $N_{BC}=-800\ \mathrm N$. No nó $D$, $P-(4/5)N_{AD}+(4/5)N_{CD}=0$ e $-(3/5)N_{AD}-N_{BD}-(3/5)N_{CD}=0$. Assim, $N_{AD}=1000+5P/4$ e $N_{BD}=-1200-3P/4$. No nó $A$, $-P+N_{AB}+(4/5)N_{AD}=0$, portanto $N_{AB}=-800\ \mathrm N$. Para $P\geq0$, a barra $AD$ impõe $P\leq800\ \mathrm N$, enquanto $BD$ impõe $P\leq3200/3\ \mathrm N$. As demais barras mantêm esforços inferiores a $2000\ \mathrm N$, e $B_y$ é sempre positivo. Logo, o limite necessário e suficiente é $P_{\max}=800\ \mathrm N$. Nesse limite, $AD$ tem tração de $2000\ \mathrm N$ e $BD$ tem compressão de $1800\ \mathrm N$.