Questão 4 de Mecânica estilo IME resolvida

Enunciado

Um cilindro maciço vertical, de seção $A=0{,}020\ \text{m}^2$, altura $H=0{,}50\ \text{m}$ e densidade $600\ \text{kg/m}^3$, flutua em água de densidade $1000\ \text{kg/m}^3$. Uma mola vertical de constante $100\ \text{N/m}$ liga sua face superior a um suporte fixo acima dele e está relaxada nessa posição inicial. Uma carga de $2{,}0\ \text{kg}$ é então fixada ao cilindro e o conjunto atinge um novo equilíbrio. A carga permanece fora da água. Uma guia vertical sem atrito mantém o cilindro na orientação indicada, e o reservatório é suficientemente grande para que o nível da água permaneça constante. Despreze ondas, atrito, inércia da água movimentada pelo cilindro e massa da mola. Use $g=10\ \text{m/s}^2$. (a) Determine a profundidade submersa inicial e o deslocamento vertical até o novo equilíbrio. (b) Determine o período das pequenas oscilações verticais do conjunto em torno desse equilíbrio. (c) Substitua a carga de $2{,}0\ \text{kg}$ por outra de massa $m_{\rm add}\geq0$, também mantida fora da água. Determine o intervalo de massas para o qual o cilindro permanece parcialmente submerso no novo equilíbrio e a massa de fronteira na qual sua face superior atinge a superfície da água.

Resolução comentada

Resposta: (a) Profundidade inicial $0{,}30\ \text{m}$; deslocamento $1/15\ \text{m}$ para baixo. (b) $T=2\pi\sqrt{2/75}\ \text{s}\simeq1{,}03\ \text{s}$. (c) Valor limite $6{,}0\ \text{kg}$; para não ficar totalmente submerso, a massa adicional deve satisfazer $0\leq m_{\rm add}<6{,}0\ \text{kg}$.

A massa do cilindro é $600\cdot0{,}020\cdot0{,}50=6\ \text{kg}$. Inicialmente, sem força de mola, $\rho_{\rm água}Ah_0g=mg$, dando $h_0=6/(1000\cdot0{,}020)=0{,}30\ \text{m}$. Se ele desce $x$, o acréscimo de empuxo é $\rho Agx=200x\ \text{N}$ e a mola, alongada, exerce $100x\ \text{N}$ para cima. Esses acréscimos equilibram o peso da carga: $300x=20$, de onde $x=1/15\ \text{m}$. A profundidade final $11/30\ \text{m}$ ainda é menor que $H$. Um pequeno deslocamento em torno desse equilíbrio tem rigidez efetiva $K=200+100=300\ \text{N/m}$. A massa que oscila é $8\ \text{kg}$, portanto $T=2\pi\sqrt{8/300}=2\pi\sqrt{2/75}\ \text{s}$. O regime considerado mantém as faces acima e abaixo da linha d'água, permitindo empuxo linear. O deslocamento limite é $H-h_0=0{,}20\ \text{m}$. Então $m_{\rm add}g=300\cdot0{,}20=60\ \text{N}$ e $m_{\rm add}=6\ \text{kg}$. Na igualdade, a face superior chega à superfície da água: não há mais borda emergente. Como a carga tem massa não negativa, o intervalo é $0\leq m_{\rm add}<6\ \text{kg}$.