Questão 5 de Termodinâmica estilo IME resolvida

Enunciado

Um gás ideal monoatômico ocupa inicialmente $0{,}010\ \text{m}^3$ sob um pistão vertical de massa $20\ \text{kg}$ e seção $0{,}010\ \text{m}^2$. A região acima do pistão é aberta à atmosfera, cuja pressão é $1{,}0\times10^5\ \text{Pa}$. Uma mola acima do pistão, de constante $1000\ \text{N/m}$, está inicialmente relaxada e é comprimida quando ele sobe. O gás recebe calor lentamente até o pistão subir $0{,}20\ \text{m}$. Despreze atrito e capacidade térmica do pistão e use $g=10\ \text{m/s}^2$.  (a) Determine as pressões inicial e final do gás e a razão entre suas temperaturas final e inicial. (b) Determine o trabalho realizado pelo gás e separe as parcelas destinadas à atmosfera, ao peso do pistão e à mola. (c) Determine o calor fornecido ao gás.

Resolução comentada

Resposta: (a) $p_i=1{,}2\times10^5\ \text{Pa}$, $p_f=1{,}4\times10^5\ \text{Pa}$ e $T_f/T_i=1{,}4$. (b) Trabalho $260\ \text{J}$: $200\ \text{J}$ contra a atmosfera, $40\ \text{J}$ de energia gravitacional e $20\ \text{J}$ na mola. (c) Calor $980\ \text{J}$.

No equilíbrio inicial, $p_i=p_a+Mg/A=10^5+20\cdot10/0{,}010=1{,}2\times10^5\ \text{Pa}$. Após subir $x=0{,}20$, a mola acrescenta pressão $kx/A=2{,}0\times10^4\ \text{Pa}$, dando $p_f=1{,}4\times10^5\ \text{Pa}$. O volume final é $V_f=V_i+Ax=0{,}012\ \text{m}^3$. Pela equação de estado, $T_f/T_i=p_fV_f/(p_iV_i)=1680/1200=1{,}4$. A pressão cresce linearmente com o deslocamento e com o volume. Logo, $W=(p_i+p_f)(V_f-V_i)/2=260\ \text{J}$. Alternativamente: atmosfera $p_aAx=200\ \text{J}$; elevação do pistão $Mgx=40\ \text{J}$; mola $kx^2/2=20\ \text{J}$. Para o gás monoatômico, $U=3n\mathcal RT/2=3pV/2$, portanto $\Delta U=3(1680-1200)/2=720\ \text{J}$. A primeira lei fornece $Q=\Delta U+W=980\ \text{J}$.