Questão 6 de Óptica estilo IME resolvida

Enunciado

Uma lente delgada biconvexa simétrica tem distância focal de $20\ \text{cm}$ quando está no ar e de $80\ \text{cm}$ quando inteiramente imersa em água. Os índices da água e do ar são, respectivamente, $4/3$ e $1$. Despreze dispersão e trabalhe nas condições de Gauss. A equação do fabricante é $\frac1f=\left(\frac{n_{\rm lente}}{n_{\rm meio}}-1\right)\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right),$ com raios positivos quando seus centros de curvatura estão à direita, para luz propagando-se à direita. (a) Determine o índice de refração da lente e o módulo de seus raios de curvatura. (b) Com a lente imersa, um objeto está a $120\ \text{cm}$ à sua esquerda. Determine a posição e a ampliação da imagem. (c) Determine a condição sobre o índice de refração do meio para que essa mesma lente se torne divergente e explique a mudança de sinal de sua distância focal.

Resolução comentada

Resposta: (a) Índice $3/2$; raios de curvatura $R_1=+20\ \text{cm}$ e $R_2=-20\ \text{cm}$. (b) Imagem real a $240\ \text{cm}$ à direita, com ampliação $-2$. (c) Qualquer meio de índice maior que $3/2$; no índice igual a $3/2$, o poder refrativo é nulo.

O fator geométrico é o mesmo nos dois meios. Dividindo os poderes refrativos, $\frac{1/80}{1/20}=\frac{3n/4-1}{n-1}=\frac14.$ Logo, $3n-4=n-1$, de onde $n=3/2$. No ar, $1/f=(1/2)(2/R)=1/R$, portanto $R=f=20\ \text{cm}$, com os sinais indicados para a lente biconvexa. Na água, $1/80=1/120+1/p'$, dando $p'=240\ \text{cm}$. A ampliação é $-p'/p=-240/120=-2$, indicando imagem invertida, com o dobro da altura do objeto. Para essa geometria, $1/R_1-1/R_2>0$. O sinal de $1/f$ é o de $n_{\rm lente}/n_{\rm meio}-1$. Assim, meios com índice maior que $3/2$ tornam a lente divergente. Em meio de índice igual ao da lente, as superfícies não desviam os raios e $f$ tende ao infinito; o formato biconvexo, sozinho, não determina o tipo óptico.