Questão 7 de Óptica estilo IME resolvida

Enunciado

Uma cavidade retangular plana tem lados de $3{,}0\ \text{cm}$ e $4{,}0\ \text{cm}$, com paredes internas espelhadas e pequenos absorvedores apenas nos quatro vértices. Um raio lançado de $A$ com ângulo $0<\theta<90^\circ$ em relação ao lado horizontal sofre reflexões especulares até atingir um vértice, onde é absorvido. Cada reflexão acrescenta uma fase de $\pi$, sem perda de intensidade. As dimensões geométricas não variam.  (a) Ao desdobrar as reflexões em uma malha de retângulos, represente o primeiro vértice atingido pelas coordenadas $(3k,4j)$, em centímetros, com $k$ e $j$ inteiros positivos. Determine a condição sobre $k$ e $j$ para que a primeira chegada a um vértice ocorra em $C$. Expresse $\tan\theta$, o comprimento do percurso e o número de reflexões em termos desses inteiros. (b) Entre os raios que chegam pela primeira vez a $C$ após exatamente oito reflexões, determine todos os ângulos possíveis, em termos de suas tangentes, e identifique o percurso mais curto. (c) Um laser coerente produz dois feixes com fase relativa ajustável. Um percorre diretamente $AC$ e outro percorre o caminho mais curto de (b). Em $C$, seus campos são superpostos com a mesma polarização e intensidades isoladas $I_0$ e $I_0/4$, respectivamente. Inicialmente, com índice interno $n=1$, a fase relativa foi ajustada para intensidade máxima. O índice é então aumentado uniformemente, mantendo os espelhos, a geometria e o ajuste inicial de fase. Para comprimento de onda no vácuo $600\ \text{nm}$, determine, em forma exata, o menor aumento positivo de índice que produz um mínimo e a intensidade nesse mínimo.

Resolução comentada

Resposta: (a) $k$ e $j$ devem ser ímpares positivos e coprimos; $\tan\theta=4j/(3k)$, $L=\sqrt{9k^2+16j^2}\ \text{cm}$ e $N=k+j-2$. (b) Tangentes $12$, $28/9$, $4/7$ e $4/27$. O mais curto corresponde a $(k,j)=(7,3)$: $L=3\sqrt{65}\ \text{cm}$. (c) $\Delta n_{\min}=3{,}0\times10^{-7}/[(3\sqrt{65}-5)\times10^{-2}]\simeq1{,}56\times10^{-6}$; $I_{\min}=I_0/4$.

Desdobrar as reflexões equivale a substituir a trajetória por uma reta em uma malha de retângulos de lados $a=3$ e $b=4\ \text{cm}$. O primeiro vértice atingido nessa malha tem coordenadas $(ka,jb)$, com $k,j$ inteiros positivos. A reta não pode passar por um vértice antes dele, portanto $\gcd(k,j)=1$. Para que a dobra de volta termine no vértice superior direito $C$, ambos os inteiros devem ser ímpares. A inclinação é $\tan\theta=jb/(ka)=4j/(3k)$ e o comprimento não muda com o desdobramento: $L=\sqrt{9k^2+16j^2}\ \text{cm}$. Antes da chegada final, a reta cruza $k-1$ paredes verticais e $j-1$ horizontais, totalizando $N=k+j-2$ reflexões. Como os inteiros são coprimos, não há cruzamento simultâneo intermediário em um vértice. Para $N=8$, $k+j=10$. Os pares ímpares positivos são $(1,9),(3,7),(5,5),(7,3),(9,1)$; o par $(5,5)$ é descartado porque o raio já atingiria $C$ sem nenhuma reflexão. Os quatro pares válidos dão as tangentes da resposta. Seus comprimentos ao quadrado, em cm², são $1305$, $865$, $585$ e $745$. O menor é $\sqrt{585}=3\sqrt{65}\ \text{cm}$, correspondente a $(7,3)$. O percurso direto tem $L_0=5\ \text{cm}$. As oito reflexões acrescentam $8\pi$, múltiplo de $2\pi$, e o ajuste inicial garante um máximo independentemente da fase acumulada em $n=1$. Um aumento $\Delta n$ altera a fase relativa em $\Delta\varphi=2\pi\Delta n(L-L_0)/\lambda_0$. O primeiro mínimo exige $\Delta\varphi=\pi$, portanto $\Delta n=\lambda_0/[2(L-L_0)]$, com ambos os comprimentos convertidos em metros. As amplitudes são proporcionais a $\sqrt{I_0}$ e $\sqrt{I_0}/2$. No mínimo, elas se subtraem: $I_{\min}=(\sqrt{I_0}-\sqrt{I_0}/2)^2=I_0/4$. O mínimo não é escuro, pois as intensidades dos feixes não são iguais. A coerência entre os percursos e a superposição de campos em $C$ foram explicitamente asseguradas no enunciado.