Questão 9 de Termodinâmica estilo IME resolvida

Enunciado

Um motor de Carnot opera entre uma fonte quente de temperatura $T_H$ e o ambiente a $300\ \mathrm K$. Todo o trabalho do motor aciona, sem perdas de transmissão, um refrigerador de Carnot entre uma câmara fria a $T_F$ e esse mesmo ambiente. Em regime permanente, o motor recebe $800\ \mathrm W$ da fonte quente e os dois dispositivos, juntos, entregam $2000\ \mathrm W$ ao ambiente. A potência térmica rejeitada pelo motor é um quarto da rejeitada pelo refrigerador. As temperaturas das fontes são constantes, com $T_H>300\ \mathrm K>T_F$. (a) Determine $T_H$, $T_F$, a potência mecânica transmitida e a potência térmica retirada da câmara fria. (b) Em outro ensaio, a fonte quente é substituída por um corpo de capacidade térmica constante $C=2000\ \mathrm{J/K}$, inicialmente à temperatura $T_H$ encontrada em (a). O motor adapta reversivelmente seu ciclo à temperatura instantânea desse corpo e continua acionando o refrigerador, mantendo o ambiente a $300\ \mathrm K$ e a câmara fria a $T_F$. Determine o máximo calor retirado da câmara enquanto o corpo esfria até $450\ \mathrm K$. Para um corpo com capacidade térmica constante, use $\Delta S=C\ln(T_2/T_1)$; adote $\ln(4/3)=0{,}288$. Despreze capacidades térmicas dos dispositivos e perdas externas. (c) Retome as três fontes constantes de (a), mas substitua os dispositivos por um motor cujo rendimento é metade do rendimento de Carnot e um refrigerador cujo coeficiente de desempenho é metade do de Carnot. Mantendo a entrada de $800\ \mathrm W$ no motor, determine a nova potência térmica retirada da câmara, a potência total rejeitada ao ambiente e a taxa de produção de entropia do conjunto. Compare a refrigeração com a de (a).

Resolução comentada

Resposta: (a) $T_H=600\ \mathrm K$, $T_F=225\ \mathrm K$, trabalho por unidade de tempo $400\ \mathrm W$ e refrigeração $1200\ \mathrm W$. (b) $Q_F^{\max}=381600\ \mathrm J$. (c) Refrigeração $300\ \mathrm W$, rejeição total $1100\ \mathrm W$, produção de entropia $1{,}0\ \mathrm{W/K}$; a refrigeração cai para um quarto.

Sejam $H$ e $J$ as potências rejeitadas respectivamente pelo motor e pelo refrigerador. Os dados dão $H+J=2000$ e $H=J/4$, logo $H=400$ e $J=1600\ \mathrm W$. O motor produz $\dot W=800-H=400\ \mathrm W$. O refrigerador retira $\dot Q_F=J-\dot W=1200\ \mathrm W$, também compatível com o balanço global $2000=800+1200$. Para o motor reversível, $H/800=300/T_H$, dando $T_H=600\ \mathrm K$. Para o refrigerador reversível, $\dot Q_F/J=T_F/300$, dando $T_F=225\ \mathrm K$. Seu coeficiente de desempenho é $225/(300-225)=3$. No ensaio finito, o corpo fornece $Q_H=C(600-450)=300000\ \mathrm J$ e sua entropia diminui de $C\ln(600/450)=576\ \mathrm{J/K}$. Como o motor adapta seu ciclo reversivelmente, o ambiente recebe do motor o calor $Q_{A,M}=300\times576=172800\ \mathrm J$, compensando exatamente a diminuição de entropia do corpo. Assim, $W_{\max}=Q_H-Q_{A,M}=127200\ \mathrm J$. O refrigerador reversível, com temperaturas constantes, retira $Q_F^{\max}=3W_{\max}=381600\ \mathrm J$. O rendimento inicial de $1/2$ não permanece constante durante o resfriamento: usá-lo sobre todo o calor fornecido pelo corpo superestimaria o resultado. A expressão de entropia fornecida permite o balanço sem integrar um rendimento variável. Em (c), o motor tem rendimento $1/4$, produzindo $200\ \mathrm W$ e rejeitando $600\ \mathrm W$. O refrigerador tem coeficiente de desempenho $3/2$, retira $300\ \mathrm W$ e rejeita $500\ \mathrm W$. O ambiente recebe $1100\ \mathrm W$. Como os dispositivos retornam ciclicamente aos mesmos estados, a produção de entropia é a soma das taxas de variação das fontes: $\dot S_{\rm ger}=\frac{1100}{300}-\frac{800}{600}-\frac{300}{225}=1\ \mathrm{W/K}>0.$ As duas reduções por fator dois se multiplicam: a refrigeração é um quarto da inicial. No conjunto reversível de (a), a mesma soma é nula, como exige a segunda lei.