Questão 1 de Logaritmos estilo IME resolvida

Enunciado

Determine todos os valores reais de $x$ que satisfazem $\log_x(2x)+\log_{2x}x\geq\frac52.$

Resolução comentada

Resposta: $\left[\frac14,\frac12\right)\cup(1,2].$

O domínio é $x>0$, $x\ne1/2$ e $x\ne1$. Ponha $u=\log_2x$, de modo que $u\ne-1,0$. Pela mudança de base, $\log_x(2x)+\log_{2x}x=\frac{u+1}{u}+\frac{u}{u+1}=2+\frac1{u(u+1)}.$ A inequação equivale a $\frac1{u(u+1)}\geq\frac12\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{-(u+2)(u-1)}{u(u+1)}\geq0.$ Os zeros do numerador são $-2$ e 1; os do denominador, $-1$ e 0, são proibidos. A análise de sinais dá $u\in[-2,-1)\cup(0,1]$. Como $x=2^u$ é crescente, resulta $x\in[1/4,1/2)\cup(1,2]$. Nos extremos admitidos, a expressão vale exatamente $5/2$.