Questão 10 de Probabilidade estilo IME resolvida

Enunciado

Três vértices de um dodecágono regular são escolhidos simultaneamente, com todos os subconjuntos de três vértices equiprováveis. Seja T o triângulo assim formado. Calcule a probabilidade de T ser acutângulo. Sabendo que T é acutângulo, calcule a probabilidade de T ser isósceles, incluindo os equiláteros nessa classificação.

Resolução comentada

Resposta: $\mathbb P(T\text{ acutângulo})=2/11$; $\mathbb P(T\text{ isósceles}\mid T\text{ acutângulo})=2/5$.

O total de triângulos é $\binom{12}3=220$. Um triângulo inscrito é retângulo se possui um lado que é diâmetro: há seis pares antipodais e dez escolhas do terceiro vértice, totalizando 60. Não ocorre dupla contagem, pois três vértices não podem conter dois pares antipodais. Um triângulo inscrito sem par antipodal é obtusângulo se, e somente se, os três vértices estão num arco de medida menor que 180°. Nesse caso, existe um único vértice inicial do arco curto contendo os outros dois: é o vértice que sucede o único intervalo circular entre vértices selecionados maior que 180°. Escolhido esse início, os outros dois são escolhidos entre os cinco vértices seguintes, em $\binom52=10$ maneiras. Logo há $12\cdot10=120$ triângulos obtusângulos. Restam $220-60-120=40$ acutângulos, com probabilidade $40/220=2/11$. Para contar os isósceles acutângulos, registre as três quantidades positivas de arestas nos arcos consecutivos entre os vértices escolhidos. Elas somam 12 e, para que o triângulo seja agudo, cada uma deve ser menor que 6. Dois lados são iguais se os arcos correspondentes têm quantidades iguais: a possibilidade de arcos suplementares é excluída, pois dois desses arcos somam menos que 12. Se os intervalos são $(a,a,12-2a)$, as condições dão a = 4 ou a = 5. O caso a = 4 gera quatro triângulos equiláteros, um para cada classe de vértices módulo quatro. O caso a = 5 tem intervalos 5, 5 e 2; escolhendo o vértice entre os dois intervalos de tamanho cinco, determina-se um único triângulo, em 12 maneiras. Os 16 triângulos obtidos são distintos. A probabilidade condicionada é $16/40=2/5$.