Questão 2 de Trigonometria estilo IME resolvida

Enunciado

Resolva, para $0\leq x<2\pi$, a inequação $\frac{\sin3x-\sin x}{\cos2x-\cos x}\geq0.$

Resolução comentada

Resposta: $\left[\frac\pi4,\frac{2\pi}3\right)\cup\left[\frac{3\pi}4,\pi\right]\cup\left[\frac{5\pi}4,\frac{4\pi}3\right)\cup\left[\frac{7\pi}4,2\pi\right).$

O denominador é $2\cos^2x-1-\cos x=(2\cos x+1)(\cos x-1),$ portanto devem ser excluídos $0,2\pi/3,4\pi/3$. O ponto $2\pi$ já não pertence ao intervalo. Pela fórmula da diferença de senos, $\sin3x-\sin x=2\sin x\cos2x.$ Os zeros admitidos do numerador são $\pi/4,3\pi/4,\pi,5\pi/4,7\pi/4$. No intervalo $(0,2\pi)$, o fator $\cos x-1$ é negativo. O fator $2\cos x+1$ é negativo entre $2\pi/3$ e $4\pi/3$ e positivo fora desse intervalo. A análise dos fatores dá: | Intervalo aberto | Sinal da fração | | --- | --- | | $(0,\pi/4)$ | negativo | | $(\pi/4,2\pi/3)$ | positivo | | $(2\pi/3,3\pi/4)$ | negativo | | $(3\pi/4,\pi)$ | positivo | | $(\pi,5\pi/4)$ | negativo | | $(5\pi/4,4\pi/3)$ | positivo | | $(4\pi/3,7\pi/4)$ | negativo | | $(7\pi/4,2\pi)$ | positivo | Incluem-se os zeros admitidos do numerador e excluem-se os do denominador, obtendo a união indicada.