Questão 3 de Matrizes estilo IME resolvida

Enunciado

Considere a matriz $M=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}$ e, para cada inteiro $n\geq1$, a matriz $S_n=M+M^2+\cdots+M^n$. Determine todos os valores de $n$ para os quais $S_n$ é invertível e expresse $\det S_n$ em função do resto da divisão de $n$ por seis.

Resolução comentada

Resposta: $S_n$ é invertível se, e somente se, $n$ não é múltiplo de seis. Para restos $0,1,2,3,4,5$, os determinantes são, respectivamente, $0,1,3,4,3,1$.

A multiplicação direta dá $M^2=M-I$ e $M^3=-I$. Logo $M^6=I$ e $M^4=-M,\qquad M^5=I-M.$ A soma $M+M^2+\cdots+M^6$ é a matriz nula. Cada bloco seguinte de seis potências tem a mesma soma, pois $M^6=I$. Se $n=6q+r$, $0\leq r\leq5$, segue $S_n=S_r$, com $S_0=0$. | $r$ | $S_r$ | $\det S_r$ | | --- | --- | --- | | 0 | $0$ | 0 | | 1 | $M$ | 1 | | 2 | $2M-I$ | 3 | | 3 | $2M-2I$ | 4 | | 4 | $M-2I$ | 3 | | 5 | $-I$ | 1 | Os determinantes da tabela são obtidos substituindo a matriz $M$ dada. Uma matriz quadrada é invertível exatamente quando seu determinante é não nulo, concluindo a classificação.