Questão 4 de Álgebra e geometria estilo IME resolvida

Enunciado

Para um número real $a>0$, considere o polinômio $P_a(z)=z^4-4z^3+8z^2-8z+3+a.$ Determine os valores de $a$ para os quais os afixos de suas quatro raízes são os vértices de um retângulo não degenerado. Nesses casos, expresse a área do retângulo e o raio de sua circunferência circunscrita em função de $a$. Determine, ainda, o valor de $a$ e a área do retângulo quando seu perímetro é igual a 8.

Resolução comentada

Resposta: Retângulo não degenerado se, e somente se, $a>1$. Área $2\sqrt{a-1}$ e raio $a^{1/4}$. Para perímetro 8, $a=289/64$ e área $15/4$.

Com $w=z-1$, a equação é $w^4+2w^2+a=0$. Portanto $w^2=-1\pm\sqrt{1-a}.$ Se $0<a<1$, ambos os valores de $w^2$ são negativos, de modo que todas as raízes têm parte real igual a 1 e seus afixos são colineares. Se $a=1$, há apenas duas raízes distintas, ambas duplas. Nenhum desses casos fornece retângulo não degenerado. Se $a>1$, escreva as raízes de $w^2=-1+i\sqrt{a-1}$ como $\pm(u+iv)$, com $u,v>0$. Temos $u^2-v^2=-1,\qquad 2uv=\sqrt{a-1},\qquad u^2+v^2=\sqrt a.$ As outras duas raízes são as conjugadas. Logo os quatro afixos são $1\pm u\pm iv$, com sinais independentes, e formam um retângulo de lados $2u$ e $2v$. Como $uv>0$, ele não é degenerado. A área é $4uv=2\sqrt{a-1}$ e a distância de cada vértice ao centro, afixo de 1, é $\sqrt{u^2+v^2}=a^{1/4}$. O perímetro é $4(u+v)$. Se ele vale 8, então $(u+v)^2=4$, ou $\sqrt a+\sqrt{a-1}=4.$ Como a diferença dos quadrados desses dois radicais é 1, sua diferença é $1/4$. Portanto $\sqrt a=17/8$ e $\sqrt{a-1}=15/8$. Seguem $a=289/64$ e área $15/4$. Esses valores dão $u=3/4$ e $v=5/4$, confirmando perímetro 8 e existência.