Questão 5 de Trigonometria estilo IME resolvida

Enunciado

Num triângulo ABC, os ângulos internos satisfazem $\tan A:\tan B:\tan C=1:2:3.$ O maior lado mede 3. Determine as medidas dos outros lados e a área do triângulo.

Resolução comentada

Resposta: Os lados medem $\sqrt5$, $2\sqrt2$ e 3; área 3.

Como as três tangentes têm o mesmo sinal e pelo menos dois ângulos de um triângulo são agudos, todas são positivas. Não há ângulo reto, pois suas tangentes foram definidas. Escreva $\tan A=t$, $\tan B=2t$ e $\tan C=3t$, t > 0. A identidade $\sin(A+B+C)=0$, dividida por $\cos A\cos B\cos C\ne0$, fornece $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$. Portanto $6t=6t^3$, e t = 1. Como os ângulos são agudos, seus senos são $1/\sqrt2$, $2/\sqrt5$ e $3/\sqrt{10}$. Pela lei dos senos, os lados opostos estão na razão $\sqrt5:2\sqrt2:3$. O último é o maior e já mede 3; logo o fator de escala é um. O ângulo A é 45°, e a área é $\frac12(2\sqrt2)\cdot3\cdot\sin45^\circ=3$. Para existência, A = 45°, B = arctan 2 e C = arctan 3 são agudos; a fórmula de adição mostra B + C = 135°, pois sua tangente é −1 e B + C pertence ao segundo quadrante. Portanto somam 180° e os lados encontrados efetivamente determinam o triângulo.