Questão 6 de Sequências estilo IME resolvida

Enunciado

Para $\lambda\in\mathbb R$, defina $S_0=0$ e, para cada inteiro $n\geq1$, $S_n=\sum_{k=1}^n\left(\frac1{k(k+1)}+\frac\lambda{2^k}\right).$ Determine uma expressão para $S_n$ em função de $n$ e de $\lambda$. Classifique os valores de $\lambda$ para os quais a sequência $(S_n)_{n\geq0}$ é estritamente crescente, não decrescente sem ser estritamente crescente, ou não é monótona. Para $\lambda=1$, determine o menor inteiro positivo $n$ para o qual $S_n>31/16$.

Resolução comentada

Resposta: $S_n=1+\lambda-1/(n+1)-\lambda/2^n$. A sequência é estritamente crescente para $\lambda>-2/3$; é não decrescente sem ser estritamente crescente para $\lambda=-2/3$; não é monótona para $\lambda<-2/3$. Para $\lambda=1$, o menor índice é 16.

Telescopando $1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1)$ e somando a PG, obtemos $S_n=1+\lambda-\frac1{n+1}-\frac\lambda{2^n}.$ A expressão também vale em $n=0$. Para $k\geq1$, $S_k-S_{k-1}=\frac1{k(k+1)}+\frac\lambda{2^k}.$ Defina $b_k=2^k/[k(k+1)]$. O sinal desse incremento é o de $b_k+\lambda$. A razão $\frac{b_{k+1}}{b_k}=\frac{2k}{k+2}$ é menor que 1 em $k=1$, igual a 1 em $k=2$ e maior que 1 para $k\geq3$. Assim, o menor valor de $b_k$ é $b_2=b_3=2/3$. Logo todos os incrementos são positivos se $\lambda>-2/3$. Para $\lambda=-2/3$, apenas os incrementos de índices 2 e 3 são nulos: $S_1=S_2=S_3$; os demais são positivos. Para $\lambda<-2/3$, esses dois incrementos são negativos. Entretanto, para $k\geq6$, a razão $b_{k+1}/b_k\geq3/2$, de modo que $b_k$ cresce sem limite. Portanto os incrementos são positivos a partir de algum índice. Há incrementos de ambos os sinais, o que impede monotonicidade nos dois sentidos. Para $\lambda=1$, temos $S_n=2-1/(n+1)-1/2^n$, sequência estritamente crescente. Em $n=15$, $2-S_{15}=1/16+1/32768>1/16$, logo $S_{15}<31/16$. Em $n=16$, $2-S_{16}=\frac1{17}+\frac1{65536}<\frac1{16},$ pois $1/16-1/17=1/272>1/65536$. Assim, $S_{16}>31/16$, e a monotonicidade exclui índices menores.