Questão 7 de Geometria plana estilo IME resolvida

Enunciado

O quadrilátero convexo ABCD está inscrito em uma circunferência. Sabe-se que $AB=\sqrt5,\quad BC=\sqrt{10},\quad CD=\sqrt{20},\quad DA=\sqrt{15}.$ Demonstre que as diagonais AC e BD são perpendiculares. Determine o raio da circunferência e a área do quadrilátero.

Resolução comentada

Resposta: As diagonais são perpendiculares; raio $5/2$; área $5+5\sqrt6/2$.

Seja X a interseção das diagonais, que é interior aos dois segmentos pela convexidade. Escreva $AX=p$, $CX=q$, $BX=r$, $DX=s$, todos positivos, e $\theta=\angle AXB$. A lei dos cossenos nos quatro triângulos de vértice X dá $AB^2=p^2+r^2-2pr\cos\theta,\quad CD^2=q^2+s^2-2qs\cos\theta,$ $BC^2=q^2+r^2+2qr\cos\theta,\quad DA^2=p^2+s^2+2ps\cos\theta.$ Subtraindo as somas, obtemos $AB^2+CD^2-BC^2-DA^2=-2(p+q)(r+s)\cos\theta.$ O primeiro membro é $5+20-10-15=0$. Como os comprimentos são positivos, $\cos\theta=0$, logo $\theta=90^\circ$ e as diagonais são perpendiculares. Pelo teorema do ângulo entre cordas, $\angle AXB$ é metade da soma das medidas dos arcos AB e CD que intercepta. Como esse ângulo é reto, esses dois arcos somam 180°. Se suas metades medem α e γ, temos α + γ = 90°. Para o raio R, a fórmula das cordas dá $AB=2R\sin\alpha$ e $CD=2R\sin\gamma=2R\cos\alpha$. Portanto $AB^2+CD^2=4R^2$, de onde $5+20=4R^2$ e R = 5/2. Pelo teorema de Ptolomeu, $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA=10+5\sqrt6$. Como as diagonais são perpendiculares, a soma das áreas dos quatro triângulos que determinam é $(AC\cdot BD)/2$. A área procurada é, portanto, $5+5\sqrt6/2$. A configuração é consistente: em uma circunferência de raio 5/2, escolha as metades dos arcos consecutivos como α, β, 90° − α e 90° − β, com $\sin\alpha=\sqrt5/5$ e $\sin\beta=\sqrt{10}/5$. Elas são positivas e somam 180°, reproduzem os quatro lados e tornam as diagonais perpendiculares.