Questão 8 de Geometria analítica estilo IME resolvida

Enunciado

Determine as equações das retas que passam por $P=(3,-3)$ e tangenciam a hipérbole $xy=1$. Calcule a tangente do menor ângulo entre essas retas. Para cada uma delas, determine os pontos em que corta os eixos coordenados e calcule a área do triângulo formado com esses eixos.

Resolução comentada

Resposta: $y=-\frac{11\pm2\sqrt{10}}9x+\frac{2\pm2\sqrt{10}}3,$ com sinais correspondentes. Tangente do menor ângulo: $2\sqrt{10}/9$. Interseções com os eixos: $\left(\frac{-2\pm2\sqrt{10}}3,0\right),\qquad\left(0,\frac{2\pm2\sqrt{10}}3\right),$ com sinais correspondentes aos da reta. Cada triângulo tem área 2.

Um ponto da hipérbole pode ser escrito como $T=(u,1/u)$, u ≠ 0. A reta tangente é $x/u+uy=2$. De fato, substituí-la em xy = 1 produz uma equação quadrática com raiz dupla x = u. As retas $x/u+uy=2$ têm os dois coeficientes não nulos, logo nenhuma tangente é vertical ou horizontal. Impondo que a reta passe por P, obtemos $3/u-3u=2$, ou $3u^2+2u-3=0$. Assim, $u=(-1\pm\sqrt{10})/3$. Ambas as raízes são não nulas e geram as duas tangentes. Seus coeficientes angulares são $m_1=-(11+2\sqrt{10})/9$ e $m_2=-(11-2\sqrt{10})/9$; usar P fornece os interceptos apresentados. Como $m_1m_2=1$, a tangente do menor ângulo é $\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|=\frac{2\sqrt{10}}9.$ A tangente no parâmetro u corta os eixos em $(2u,0)$ e $(0,2/u)$. Para $u=(-1\pm\sqrt{10})/3$, temos $2u=\frac{-2\pm2\sqrt{10}}3,\qquad\frac2u=\frac{2\pm2\sqrt{10}}3,$ em que a segunda igualdade vem de racionalizar $6/(-1\pm\sqrt{10})$. O produto dos interceptos é $\frac{(-2\pm2\sqrt{10})(2\pm2\sqrt{10})}{9}=\frac{-4+40}{9}=4.$ Portanto cada triângulo com a origem tem área $|4|/2=2$, válida em ambos os ramos da hipérbole.