Questão 9 de Geometria espacial estilo IME resolvida

Enunciado

Num tetraedro regular ABCD de aresta a, P e Q são, respectivamente, os pontos médios de AB e AC. Um ponto E percorre o interior da aresta AD. O plano PQE secciona o tetraedro no triângulo PQE.  Determine a posição de E para a qual essa seção tem área mínima. Calcule essa área e o volume do tetraedro APQE nessa posição.

Resolução comentada

Resposta: $AE=a/4$; área mínima $a^2\sqrt2/16$; volume $a^3\sqrt2/192$.

Use vetores $\mathbf b=\overrightarrow{AB}$, $\mathbf c=\overrightarrow{AC}$ e $\mathbf d=\overrightarrow{AD}$. Seus módulos são a e os produtos escalares de dois vetores distintos são $a^2/2$, pois cada face é equilátera. Escreva $\overrightarrow{AE}=t\mathbf d$, com 0 < t < 1. Os vetores que determinam a seção a partir de P são $\mathbf u=(\mathbf c-\mathbf b)/2$ e $\mathbf v=t\mathbf d-\mathbf b/2$. Pelas relações anteriores, $|\mathbf u|^2=\frac{a^2}4,\quad|\mathbf v|^2=a^2\left(t^2-\frac t2+\frac14\right),\quad\mathbf u\cdot\mathbf v=\frac{a^2}8.$ O quadrado da área é um quarto de $|\mathbf u|^2|\mathbf v|^2-(\mathbf u\cdot\mathbf v)^2$. Assim, $[PQE]^2=\frac{a^4}{16}\left(t^2-\frac t2+\frac3{16}\right)=\frac{a^4}{16}\left[\left(t-\frac14\right)^2+\frac18\right].$ O mínimo único ocorre em t = 1/4, pertencente ao intervalo permitido, dando $AE=a/4$ e área $a^2\sqrt2/16$. O volume de ABCD é $a^3\sqrt2/12$. A multilinearidade do determinante, ou a aplicação sucessiva da proporcionalidade de volumes na mesma altura, fornece $V(APQE)/V(ABCD)=(AP/AB)(AQ/AC)(AE/AD)=(1/2)(1/2)(1/4)=1/16$. Logo $V(APQE)=a^3\sqrt2/192$.