Questão 10 de Química geral estilo IME resolvida

Enunciado

Um alvo de $^{23}_{11}Na$ é irradiado por nêutrons e produz $^{24}_{11}Na$ por captura com emissão gama. A taxa de formação de núcleos radioativos é constante, $r=1{,}00\times10^8\ \mathrm{s^{-1}}$. Despreze o esgotamento do alvo, outras reações nucleares e a captura adicional pelo produto. A meia-vida de Na-24 é tomada como 15,0 h. Inicialmente não existe Na-24. A evolução é descrita por $N(t)=(r/\lambda)(1-e^{-\lambda t})$ durante a irradiação e por $N(t)=N_{fim}e^{-\lambda t}$ após desligá-la. Use $\lambda=\ln2/t_{1/2}$, $\ln2=0{,}693$, 1 h = 3600 s e $1\ \mathrm{MeV}=1{,}60\times10^{-13}$ J. Para a estimativa energética, cada decaimento libera, no total, 4,00 MeV em fótons, e metade dessa energia é absorvida no material de interesse. Não inclua a energia cinética das partículas beta nessa estimativa. Após 30,0 h de irradiação, a fonte de nêutrons é desligada. Determine a potência absorvida devida aos fótons depois de mais 45,0 h. Apresente também as equações nucleares de captura e de decaimento beta menos, incluindo o antineutrino. Considere que Z = 12 corresponde ao magnésio.

Resolução comentada

Resposta: Potência absorvida: 3,00×10−6 W. Captura: 23Na + n → 24Na + γ. Decaimento: 24Na → 24Mg + β− + antineutrino, com eventual emissão gama posterior do núcleo filho excitado.

A captura é $^{23}_{11}Na+{}^1_0n\rightarrow{}^{24}_{11}Na+\gamma$. O decaimento beta menos é $^{24}_{11}Na\rightarrow{}^{24}_{12}Mg+{}^0_{-1}e+\bar\nu_e$, com emissão gama posterior se o núcleo filho estiver excitado. O número de massa é conservado e a soma das cargas nucleares e da partícula beta é $12-1=11$. A meia-vida é 54000 s, então $\lambda=0{,}693/54000=1{,}2833\times10^{-5}$ s−1. A atividade é $\mathcal A=\lambda N$. Durante a produção, $\mathcal A(t)=r(1-e^{-\lambda t})$, que tende a r na saturação. Após 30 h, transcorreram duas meias-vidas, e $e^{-\lambda t}=1/4$. Assim, $\mathcal A=0{,}75r=7{,}50\times10^7$ Bq. O número de núcleos é $N=\mathcal A/\lambda\approx5{,}84\times10^{12}$. Depois de desligar a irradiação, 45 h correspondem a três meias-vidas, dando $\mathcal A=(7{,}50\times10^7)/8=9{,}375\times10^6$ Bq. Cada decaimento fornece energia absorvida de $0{,}5(4{,}00)(1{,}60\times10^{-13})=3{,}20\times10^{-13}$ J. A potência é a energia por decaimento multiplicada pela taxa de decaimentos: $P=3{,}20\times10^{-13}(9{,}375\times10^6)=3{,}00\times10^{-6}$ W. r é a taxa de formação e existe somente durante a irradiação; a atividade é a taxa instantânea de desintegrações; N é o número de núcleos e não uma taxa.