Questão 1 de Mecânica estilo ITA resolvida

Enunciado

Um aro circular vertical, de raio $R$, gira com velocidade angular constante $\Omega>0$ em torno de seu diâmetro vertical. Uma conta de massa $m$ desliza sem atrito pelo aro. O ângulo $\theta$, medido entre o raio que passa pela conta e a vertical para baixo, pertence a $(-\pi,\pi]$. A aceleração gravitacional é $g$. Considere equilíbrios da conta em relação ao aro.  (a) Determine todos os equilíbrios e classifique sua estabilidade para $\Omega^2R<g$ e $\Omega^2R>g$. Justifique. (b) Para os equilíbrios laterais estáveis, determine a rapidez da conta no laboratório e o módulo da força exercida pelo aro sobre ela. (c) No caso $\Omega^2R=g$, o equilíbrio inferior é estável ou instável? Neste item, considere estável um equilíbrio no qual pequenos deslocamentos da conta produzem uma força tangencial restauradora. Justifique.

Resolução comentada

Resposta: (a) Abaixo do limiar: inferior estável e superior instável. Acima: inferior e superior instáveis, e dois laterais estáveis, $\theta=\pm\arccos[g/(\Omega^2R)]$. (b) $v=\Omega R\sqrt{1-[g/(\Omega^2R)]^2}$ e $N=m\Omega^2R$. (c) Estável; a força continua apontando para o ponto inferior após pequenos deslocamentos dos dois sinais.

No referencial que gira com o aro, a gravidade tem componente tangencial $-mg\sin\theta$ e a força centrífuga tem componente $m\Omega^2R\sin\theta\cos\theta$. A força tangencial total é $F_\tau=m\sin\theta(\Omega^2R\cos\theta-g)$. Seus zeros dão os equilíbrios: $0$, $\pi$ e, quando $\Omega^2R>g$, os dois valores laterais da resposta. Perto do ponto inferior, o sinal de $F_\tau$ é oposto ao de $\theta$ se $\Omega^2R<g$, portanto há restauração. Se $\Omega^2R>g$, o sinal coincide e há afastamento. Perto do ponto superior, a gravidade e a força centrífuga têm componentes que afastam a conta após um deslocamento, tornando o equilíbrio instável. Em um equilíbrio lateral positivo, aumentar ligeiramente $\theta$ reduz $\cos\theta$ e torna o parêntese negativo, enquanto diminuir o ângulo o torna positivo: em ambos os casos, a força aponta para o equilíbrio. A simetria fornece a mesma classificação para o lateral negativo. A conta em equilíbrio lateral descreve, no laboratório, uma circunferência horizontal de raio $R|\sin\theta|$, dando a rapidez indicada. A reação do aro aponta para o centro do aro. Seu componente vertical equilibra o peso: $N\cos\theta=mg$. Como $\cos\theta=g/(\Omega^2R)$, $N=m\Omega^2R$. Seu componente horizontal fornece exatamente $m\Omega^2R|\sin\theta|$, coerente com a aceleração centrípeta. No limiar, $F_\tau=mg\sin\theta(\cos\theta-1)$. Para um pequeno ângulo positivo, o produto é negativo; para um negativo, é positivo. Há força restauradora dos dois lados, logo o ponto inferior permanece estável. A conclusão usa apenas os sinais das funções trigonométricas; não exige expansão de potencial ou equação diferencial.