Questão 10 de Física moderna estilo ITA resolvida

Enunciado

Uma partícula é criada em $x=t=0$ no laboratório e move-se com velocidade constante no sentido positivo de $x$ até decair. Entre a criação e o decaimento, decorre um tempo próprio $\tau$ para a partícula; no laboratório, o decaimento ocorre em $x=4c\tau/3$. Um observador inercial $S'$ move-se no mesmo sentido com velocidade $u=3c/5$, e as origens dos referenciais coincidem no evento de criação. (a) Determine a velocidade da partícula e o tempo de decaimento no laboratório. (b) Determine as coordenadas do evento de decaimento em $S'$ e a velocidade da partícula nesse referencial. (c) Verifique a invariância do intervalo entre criação e decaimento. Utilize as transformações $t'=\gamma_u(t-ux/c^2)$ e $x'=\gamma_u(x-ut)$, com $\gamma_u=(1-u^2/c^2)^{-1/2}$.

Resolução comentada

Resposta: (a) $v=4c/5$ e $t=5\tau/3$. (b) $t'=13\tau/12$, $x'=5c\tau/12$, $v'=5c/13$. (c) $c^2t^2-x^2=c^2t'^2-x'^2=c^2\tau^2$.

Entre eventos sobre a trajetória da partícula, $c^2t^2-x^2=c^2\tau^2$. Com $x=4c\tau/3$, segue $t=\tau\sqrt{1+16/9}=5\tau/3$. Assim, $v=x/t=4c/5$ e $\gamma_v=5/3$. Para $u=3c/5$, $\gamma_u=5/4$. Então $t'=\frac54\left(\frac53-\frac35\frac43\right)\tau=\frac{13}{12}\tau,$ $x'=\frac54\left(\frac43-\frac35\frac53\right)c\tau=\frac5{12}c\tau.$ A velocidade é $v'=x'/t'=5c/13$, também obtida por $(v-u)/(1-vu/c^2)$. O intervalo no laboratório é $c^2\tau^2(25-16)/9=c^2\tau^2$. Em $S'$, é $c^2\tau^2(169-25)/144=c^2\tau^2$. Os tempos coordenados diferem, mas ambos são maiores que o tempo próprio, como esperado para eventos sobre uma trajetória material.