Questão 2 de Mecânica estilo ITA resolvida

Enunciado

Dois blocos de massas $m$ e $2m$ estavam em repouso sobre um trilho horizontal liso. Uma mola ideal, de constante $k$, comprimida de $d$, foi liberada entre eles, sem vínculo permanente com os blocos. Em $t=0$, a mola acaba de recuperar seu comprimento natural $\ell$ e deixa de exercer força. Nesse instante, o bloco $m$ está em $x=0$, movendo-se para a esquerda, e o bloco $2m$ em $x=\ell$, movendo-se para a direita. Uma parede rígida em $x=-a$ produz uma reflexão perfeitamente elástica do bloco $m$. Mais tarde, os blocos colidem e permanecem unidos. Despreze todas as outras interações.  (a) Determine as velocidades dos blocos em $t=0$. (b) Determine o instante e a posição da colisão entre os blocos. (c) Calcule a velocidade final e a fração da energia inicialmente armazenada na mola dissipada na colisão entre os blocos.

Resolução comentada

Resposta: Definindo $v=d\sqrt{k/(6m)}$: (a) $v_m=-2v$ e $v_{2m}=v$. (b) $t_c=(\ell+2a)/v$ e $x_c=2\ell+2a$. (c) Velocidade final $4v/3$ para a direita; fração dissipada $1/9$.

Antes da reflexão, o momento total horizontal é zero, portanto $mu+2mw=0$. A energia da mola transforma-se em energia cinética: $mu^2/2+(2m)w^2/2=kd^2/2$. Com $u=-2w$, resulta $3mw^2=kd^2/2$. Assim, $w=v$ e $u=-2v$. O bloco leve alcança a parede em $t_p=a/(2v)$; o pesado então está em $\ell+a/2$. Após refletir, o leve move-se para a direita a $2v$, enquanto o pesado conserva $v$. A separação nesse instante é $\ell+3a/2$, e a velocidade de aproximação é $v$. Logo, $t_c=a/(2v)+(\ell+3a/2)/v=(\ell+2a)/v$. A posição do pesado é $x_c=\ell+vt_c=2\ell+2a$. No choque final, $m(2v)+2mv=3mV$, de onde $V=4v/3$. A energia imediatamente antes desse choque é $3mv^2$, a mesma energia inicial da mola. A energia final é $\tfrac12(3m)(4v/3)^2=8mv^2/3$. A perda é $mv^2/3$, isto é, $1/9$ da energia inicial. A reflexão anterior conserva energia, mas transfere momento à parede; não se pode conservar o momento dos dois blocos através dessa reflexão.