Questão 3 de Termodinâmica estilo ITA resolvida

Enunciado

Um cilindro horizontal isolado, de comprimento interno $L$ e seção $A$, é dividido por um pistão de massa $M$, sem atrito, de espessura desprezível. Há $n$ mols de gás ideal em cada lado (constante universal dos gases $\mathcal R$), com a mesma razão de calores específicos $\gamma$. Inicialmente, o gás à esquerda está à temperatura $T$ e o da direita à temperatura $4T$, e o pistão está em equilíbrio. O pistão não conduz calor. Considere desprezível a inércia dos gases e suficientemente rápida a equalização interna da pressão em cada compartimento. Para pequenas variações, pode usar $(1+z)^\alpha\simeq1+\alpha z$, com $|z|\ll1$.  (a) Determine a posição de equilíbrio $x_0$, medida desde a extremidade esquerda, e a pressão inicial comum. (b) O pistão é deslocado ligeiramente e solto. Admitindo transformações adiabáticas reversíveis em ambos os gases, determine a frequência angular das pequenas oscilações. (c) Mantendo as temperaturas iniciais, explique como a frequência mudaria se o número de mols em ambos os lados fosse duplicado.

Resolução comentada

Resposta: (a) $x_0=L/5$ e $p_0=5n\mathcal RT/(AL)$, onde $\mathcal R$ é a constante universal dos gases. (b) $\omega=\sqrt{125\gamma n\mathcal RT/(4ML^2)}$. (c) A posição permanece $L/5$ e a frequência é multiplicada por $\sqrt2$.

O equilíbrio exige $p_L=p_R$. Pela equação de estado, $n\mathcal RT/(Ax_0)=4n\mathcal RT/[A(L-x_0)]$. Assim, $L-x_0=4x_0$ e $x_0=L/5$. A pressão segue da equação do gás esquerdo. Para um pequeno deslocamento $\xi$ à direita, $p_L=p_0[x_0/(x_0+\xi)]^\gamma$ e $p_R=p_0[(L-x_0)/(L-x_0-\xi)]^\gamma$. Em primeira ordem, $F=A(p_L-p_R)=-\gamma Ap_0\left(\frac1{x_0}+\frac1{L-x_0}\right)\xi.$ O coeficiente restaurador é $K=\gamma(5n\mathcal RT/L)[5/L+5/(4L)]=125\gamma n\mathcal RT/(4L^2)$. Portanto, $M\ddot\xi=-K\xi$ e $\omega=\sqrt{K/M}$. A rigidez é positiva e tem unidade de força por comprimento. Duplicar ambos os números de mols mantém a razão de volumes, duplica as pressões e a rigidez, multiplicando a frequência por $\sqrt2$. Durante a oscilação as temperaturas variam: mantê-las fixas em (b) produziria um modelo isotérmico diferente.