Questão 4 de Termodinâmica estilo ITA resolvida

Enunciado

Uma amostra de gás ideal, cuja constante universal é $\mathcal R$, com $n$ mols e razão de calores específicos $\gamma>1$ constante, percorre reversivelmente o ciclo seguinte. Partindo de $(V_0,T_0)$, é aquecida a volume constante até $\lambda T_0$, com $\lambda>1$; em seguida, expande-se adiabaticamente até retornar à temperatura $T_0$; por fim, é comprimida isotermicamente até o estado inicial. (a) Determine o volume ao final da expansão adiabática e o trabalho líquido do ciclo. (b) Obtenha o rendimento e compare-o com o rendimento de Carnot entre as temperaturas extremas desse ciclo. (c) Para $\lambda=4$, calcule o rendimento do ciclo usando $\ln2=0{,}693$.

Resolução comentada

Resposta: (a) $V_B=V_0\lambda^{1/(\gamma-1)}$ e $W=n\mathcal RT_0[(\lambda-1)-\ln\lambda]/(\gamma-1)$. (b) $\eta=1-\ln\lambda/(\lambda-1)<1-1/\lambda=\eta_C$. (c) $\eta=0{,}538$, ou $53{,}8\%$.

Da relação adiabática $TV^{\gamma-1}=\text{constante}$, vem $\lambda T_0V_0^{\gamma-1}=T_0V_B^{\gamma-1}$ e a expressão de $V_B$. Na etapa isocórica, $Q_{\rm in}=nC_VT_0(\lambda-1)$, com $C_V=\mathcal R/(\gamma-1)$. Na adiabática, $Q=0$. Na compressão isotérmica, $Q=W=n\mathcal RT_0\ln(V_0/V_B)=-n\mathcal RT_0\ln\lambda/(\gamma-1)$. Assim, o calor rejeitado em módulo é $nC_VT_0\ln\lambda$. Como $\Delta U=0$ no ciclo, $W=Q_{\rm in}-|Q_{\rm out}|$. Dividindo por $Q_{\rm in}$, obtém-se $\eta=1-\ln\lambda/(\lambda-1)$. Para $\lambda>1$, $\ln\lambda>1-1/\lambda$, logo $\ln\lambda/(\lambda-1)>1/\lambda$ e $\eta<\eta_C$. O aquecimento ocorre em uma faixa de temperaturas, não apenas na temperatura máxima. Com $\ln4=1{,}386$, $\eta=1-1{,}386/3=0{,}538$. No limite $\lambda\to1$, o trabalho e o rendimento tendem a zero.