Questão 5 de Óptica estilo ITA resolvida

Enunciado

Duas lentes delgadas estão no ar e têm o mesmo eixo óptico. A primeira é convergente, com distância focal $f_1=20\ \text{cm}$, e está em $x=0$; a segunda é divergente, com $f_2=-10\ \text{cm}$, e está em $x=30\ \text{cm}$. Um objeto de $0{,}20\ \text{cm}$ de altura está em $x=-30\ \text{cm}$. A luz propaga-se inicialmente no sentido de $x$ crescente. Trabalhe nas condições de Gauss e despreze reflexões. (a) Determine a posição da imagem final, sua natureza e sua altura, indicando a orientação. (b) Mantendo o objeto e a primeira lente nas posições originais, determine a posição da segunda lente para que os raios emergentes provenientes de cada ponto do objeto sejam paralelos entre si, formando uma imagem final no infinito. (c) Nessa configuração de feixes colimados, determine o módulo do ângulo paraxial do feixe emergente correspondente ao topo do objeto.

Resolução comentada

Resposta: (a) Imagem final virtual em $x=15\ \text{cm}$, direita, com altura $0{,}20\ \text{cm}$. (b) Segunda lente em $x=50\ \text{cm}$. (c) Ângulo em módulo $0{,}040\ \text{rad}$ na aproximação paraxial.

A primeira lente produz $1/20=1/30+1/p_1'$, portanto $p_1'=60\ \text{cm}$ e $i_1=-0{,}40\ \text{cm}$. Para a segunda lente na posição inicial, os raios incidentes convergem para um ponto $30\ \text{cm}$ à sua direita: seu objeto é virtual, com $p_2=-30\ \text{cm}$. Então $-1/10=-1/30+1/p_2'$, resultando em $p_2'=-15\ \text{cm}$. A imagem final está em $x=30-15=15\ \text{cm}$ e é virtual para a luz emergente. A ampliação total é $(-60/30)[-(-15)/(-30)]=(-2)(-1/2)=1$. Assim, a imagem é direita e tem a altura do objeto. Para saída paralela, $p_2'=\infty$, logo $p_2=f_2=-10\ \text{cm}$. A segunda lente deve estar $10\ \text{cm}$ antes da imagem intermediária, em $x=50\ \text{cm}$. O ponto intermediário relativo ao topo do objeto está $0{,}40\ \text{cm}$ abaixo do eixo e $10\ \text{cm}$ à direita da lente. Um raio que passa pelo centro da segunda lente não é desviado e tem inclinação $-0{,}40/10=-0{,}040$. Portanto, o módulo paraxial é $0{,}040\ \text{rad}$.