Questão 6 de Ondas estilo ITA resolvida

Enunciado

Um gerador de vibrações excita transversalmente uma corda homogênea. Seu trecho horizontal, de comprimento vibrante $L=0{,}90\ \mathrm m$, vai do gerador até uma polia ideal, a partir da qual a corda desce verticalmente e sustenta uma pequena esfera maciça de volume $V=5{,}0\times10^{-5}\ \mathrm{m^3}$, em repouso. As extremidades do trecho vibrante são nós. A menor frequência de ressonância é $45\ \mathrm{Hz}$ com a esfera no ar e $30\ \mathrm{Hz}$ quando ela está completamente submersa em água, sem tocar o recipiente. Despreze a massa da polia, o empuxo do ar e a massa do trecho vertical da corda. A densidade da água é $1000\ \mathrm{kg/m^3}$, e $g=10\ \mathrm{m/s^2}$. A velocidade das ondas é $c=\sqrt{T/\mu}$, em que $T$ é a tensão e $\mu$ a densidade linear da corda.  (a) Determine a densidade da esfera e a densidade linear da corda. (b) Com a esfera submersa e o laboratório em repouso, o gerador opera a $90\ \mathrm{Hz}$. Determine o número de ventres e o comprimento de onda do modo formado. (c) Todo o aparelho, inclusive o recipiente com a água e o gerador, passa a subir com aceleração vertical constante $a$. A esfera permanece em repouso em relação ao aparelho e totalmente submersa; a água está em equilíbrio relativo, e o comprimento vibrante não muda. Mantendo a frequência do gerador em $90\ \mathrm{Hz}$, determine a menor aceleração $a>0$ para que se forme novamente um modo estacionário. Considere os modos ideais, sem amortecimento.

Resolução comentada

Resposta: (a) $\rho_s=1800\ \mathrm{kg/m^3}$ e $\mu=1/7290\ \mathrm{kg/m}\simeq1{,}37\times10^{-4}\ \mathrm{kg/m}$. (b) Três ventres e $\lambda=0{,}60\ \mathrm m$. (c) $a=5g/4=12{,}5\ \mathrm{m/s^2}$, formando o segundo harmônico.

A frequência fundamental é $f_1=(1/2L)\sqrt{T/\mu}$. No ar, a tensão é $T_a=\rho_sVg$; na água, $T_w=(\rho_s-\rho_w)Vg$. Assim, $(45/30)^2=\rho_s/(\rho_s-1000)$, resultando em $\rho_s=1800\ \mathrm{kg/m^3}$. Na água, $T_w=0{,}40\ \mathrm N$ e a rapidez da onda é $c_w=2Lf_1=54\ \mathrm{m/s}$. Logo, $\mu=T_w/c_w^2=0{,}40/2916=1/7290\ \mathrm{kg/m}$. A $90\ \mathrm{Hz}$, o número do harmônico é $n=90/30=3$ e $\lambda=2L/3=0{,}60\ \mathrm m$. No aparelho que acelera para cima, a gravidade efetiva é $g+a$. A água em equilíbrio relativo tem gradiente hidrostático correspondente a esse mesmo valor, logo o empuxo é $\rho_wV(g+a)$ e a tensão é $(\rho_s-\rho_w)V(g+a)$. Portanto, $f_1(a)=30\sqrt{1+a/g}$. A ressonância a $90\ \mathrm{Hz}$ exige $90=n\,30\sqrt{1+a/g}$, isto é, $a/g=9/n^2-1$. Para $a>0$, os inteiros possíveis são $n=1$ e $n=2$. O menor valor corresponde a $n=2$: $a/g=5/4$. O modo $n=1$ exigiria $a=8g$; $n=3$ apenas reproduz o laboratório sem aceleração. Usar $g+a$ somente no peso e manter o empuxo original daria um resultado incorreto.