Questão 7 de Eletromagnetismo estilo ITA resolvida

Enunciado

Dois capacitores de placas paralelas idênticos, cada um com capacitância $C$, estão ligados em paralelo e carregados à tensão $U$. A fonte é desconectada, mas os capacitores permanecem ligados entre si. Um dielétrico de permissividade relativa $\kappa>1$ é introduzido lentamente no primeiro capacitor até preencher todo o espaço entre suas placas. Despreze perdas, efeitos de borda e alterações no segundo capacitor. (a) Determine a tensão final e a carga final de cada capacitor. (b) Determine o trabalho realizado pela força elétrica sobre o dielétrico durante a inserção. (c) Calcule esse trabalho se, antes da inserção, a conexão entre os capacitores também for desfeita. Compare os dois resultados para $\kappa=3$.

Resolução comentada

Resposta: (a) $U_f=2U/(\kappa+1)$, $Q_{1f}=2\kappa CU/(\kappa+1)$ e $Q_{2f}=2CU/(\kappa+1)$. (b) $W=CU^2(\kappa-1)/(\kappa+1)$. (c) $W_{\rm iso}=CU^2(\kappa-1)/(2\kappa)$. Para $\kappa=3$, $W=CU^2/2$ e $W_{\rm iso}=CU^2/3$; o primeiro é $3/2$ do segundo.

A carga total das placas conectadas com o mesmo sinal conserva-se em $Q=2CU$. A capacitância final equivalente é $(\kappa+1)C$. Assim, $U_f=Q/[(\kappa+1)C]$, e as cargas individuais são capacitância vezes tensão. A energia inicial é a soma das energias dos dois capacitores: $E_i=CU^2$. A final é $E_f=Q^2/[2(\kappa+1)C]=2CU^2/(\kappa+1)$. Sem fonte e sem perdas, a diminuição da energia elétrica é o trabalho da força elétrica: $W=E_i-E_f=CU^2(\kappa-1)/(\kappa+1)>0$. O agente que insere lentamente realiza trabalho negativo de mesmo módulo. No caso desconectado, cada capacitor mantém carga $CU$. O segundo não muda sua energia. O primeiro passa de $CU^2/2$ a $CU^2/(2\kappa)$, dando $W_{\rm iso}=CU^2(\kappa-1)/(2\kappa)$. Os valores para $\kappa=3$ seguem diretamente. Permitir transferência de carga entre os capacitores altera o balanço; desconectar a fonte não significa manter a carga de cada capacitor individualmente fixa.