Questão 8 de Eletromagnetismo estilo ITA resolvida

Enunciado

Uma espira retangular rígida de massa $M$, lados $a$ na direção $x$ e $b$ na direção $y$, e resistência total $R_e$ move-se no plano $xy$. Na faixa $0<x<d$ há campo magnético uniforme de módulo $B$ entrando no plano; na faixa $d<x<2d$ há campo de mesmo módulo saindo do plano. Fora das duas faixas, o campo é nulo. Considere $d>a$, ausência de atrito, autoindução desprezível e fronteiras abruptas idealizadas. Inicialmente, a aresta direita está em $x=0$ e a esquerda em $x=-a$.  Nos itens (a), (b) e (c), um agente mantém a velocidade constante $v>0$ desde $t=0$ até a saída completa. (a) Determine a corrente induzida, incluindo o sentido visto de frente, em todos os intervalos de tempo relevantes. (b) Determine a força horizontal do agente em cada intervalo e seu trabalho total. Confira esse trabalho por um balanço de energia. (c) Adotando corrente anti-horária como positiva, determine a carga líquida e a soma dos módulos das cargas que atravessam uma seção do fio durante todo o percurso. Explique o efeito de dobrar $v$ sobre as cargas e o trabalho. (d) Em outro ensaio, a espira está inteiramente na primeira faixa, com sua aresta direita em $x=d$ e velocidade $u>0$ para a direita. O agente deixa de exercer força nesse instante. Determine a condição sobre $u$ para que a espira passe inteiramente para a segunda faixa em tempo finito e, quando isso ocorrer, sua velocidade imediatamente após a passagem.

Resolução comentada

Resposta: Definindo $I_0=Bbv/R_e$ e $F_0=B^2b^2v/R_e$: (a) $0<t<a/v$: $+I_0$; $a/v<t<d/v$: zero; $d/v<t<(d+a)/v$: $-2I_0$; $(d+a)/v<t<2d/v$: zero; $2d/v<t<(2d+a)/v$: $+I_0$. Sinal positivo indica sentido anti-horário. (b) Força para a direita de módulos $F_0,0,4F_0,0,F_0$; trabalho $6B^2b^2av/R_e$. (c) Carga líquida zero; soma dos módulos $4Bab/R_e$. Dobrar $v$ mantém as cargas e dobra o trabalho. (d) $u>4B^2b^2a/(MR_e)$; velocidade final $u-4B^2b^2a/(MR_e)$.

Considere positiva a normal saindo do plano. Durante a entrada, o fluxo varia de $0$ a $-Bab$, induzindo corrente anti-horária de módulo $I_0$. Quando toda a espira ocupa a primeira faixa, seu fluxo é constante. Na passagem pela fronteira central, uma área $bv\,dt$ deixa o campo entrando e entra no campo saindo: a variação de fluxo é $2Bbv\,dt$. A corrente é horária, com módulo $2I_0$. Ao ficar inteiramente na segunda faixa, a corrente se anula. Na saída, o fluxo positivo diminui e a corrente é novamente anti-horária, com módulo $I_0$. Os limites de tempo seguem das posições das duas arestas. Os valores nos próprios instantes de fronteira podem ser tomados pelos limites laterais. Na entrada e na saída, uma só aresta vertical está em campo, e o arrasto é $BbI_0=F_0$. Na fronteira central, as duas arestas estão em campos opostos e suas forças horizontais se somam: $2Bb(2I_0)=4F_0$. O agente equilibra o arrasto, sempre para a direita. Cada etapa com corrente dura $a/v$ e corresponde a deslocamento $a$, portanto $W=(1+4+1)F_0a$. A energia Joule é $R_e[I_0^2+(2I_0)^2+I_0^2](a/v)=W$, sem variação de energia cinética. As cargas algébricas das três etapas são $+Bab/R_e$, $-2Bab/R_e$ e $+Bab/R_e$. Sua soma é zero e a soma dos módulos vale $4Bab/R_e$. Essas cargas dependem das variações de fluxo, e não da duração de cada etapa. Dobrar $v$ dobra as correntes e divide os tempos pela metade, mantendo as cargas e dobrando o trabalho. No ensaio livre, enquanto as arestas ocupam campos opostos, a força de arrasto é $2Bb|I|$. Para qualquer avanço $s\leq a$, a variação de fluxo tem módulo $2Bbs$ e a carga que passa pelo fio é $|q(s)|=2Bbs/R_e$, independentemente da velocidade ao longo do trecho. O impulso magnético acumulado tem módulo $2Bb|q(s)|=4B^2b^2s/R_e$: isso também resulta somando, para pequenos intervalos, a relação $|F|\Delta t=2Bb|I|\Delta t$. Assim, $M[v(s)-u]=-\frac{4B^2b^2s}{R_e}.$ Para atravessar toda a fronteira com velocidade ainda positiva, exige-se $u>4B^2b^2a/(MR_e)$, e a substituição de $s=a$ fornece a velocidade final. Se $u$ for menor, a espira se aproxima do repouso antes de completar a passagem. Na igualdade, sua velocidade se aproxima de zero na própria saída da fronteira; o tempo é ilimitado. De fato, nesse caso a velocidade é proporcional à distância restante e o tempo necessário para cada sucessiva metade dessa distância é o mesmo. Não é preciso resolver uma equação diferencial para obter o impulso, o limiar e a velocidade final. A escala $B^2b^2a/(MR_e)$ tem unidade de velocidade.