Questão 9 de Mecânica estilo ITA resolvida

Enunciado

Uma plataforma circular rígida e horizontal, de raio $3a$ e massa $M$, tem centro de massa na origem $O$ de um sistema de coordenadas no seu plano. Três pés de massa desprezível apoiam-se num piso horizontal nos pontos $A=(-a,-b/3)$, $B=(a,-b/3)$ e $C=(0,2b/3)$, com $a>0$ e $0<b<9a/2$, de modo que os três apoios fiquem sob a plataforma. Os pés só podem receber do piso reações verticais para cima. Uma pequena carga de massa $m$ é colocada sobre a plataforma no ponto $P=(x,y)$, com $x^2+y^2\leq9a^2$. Despreze deformações.  (a) Determine as três reações normais em função de $M,m,g,a,b,x,y$ e as condições para existir equilíbrio com todos os apoios em contato. (b) Considere $M=2m$, $b=3a$ e $P=(2a,0)$. Determine as reações e indique o que ocorre se a carga for deslocada um pouco mais na direção positiva de $x$, mantendo $y=0$. (c) Ainda com $M=2m$ e $b=3a$, a carga será posicionada a uma distância $r$ de $O$, mas sua direção no plano não será conhecida previamente. Determine o maior $r$ que garante equilíbrio para qualquer posição nessa circunferência e identifique o apoio que pode perder contato no limite. Considere que uma reação nula representa o limiar de perda de contato.

Resolução comentada

Resposta: (a) $N_A=(M+m)g/3-mg[y/(2b)+x/(2a)]$, $N_B=(M+m)g/3+mg[x/(2a)-y/(2b)]$, $N_C=(M+m)g/3+mgy/b$, todos não negativos. (b) $N_A=0$, $N_B=2mg$, $N_C=mg$; avançar em $x$ provoca tombamento em torno da linha $BC$. (c) $r_{\max}=6a/\sqrt{10}$; $A$ ou $B$ pode perder contato, dependendo da direção da carga.

O equilíbrio vertical fornece $N_A+N_B+N_C=(M+m)g$. Os momentos em torno dos eixos no plano dão $a(N_B-N_A)=mgx$ e $[-b(N_A+N_B)+2bN_C]/3=mgy$. Resolver essas três equações fornece as reações da resposta. Como o piso não puxa os pés para baixo, o equilíbrio exige $N_A,N_B,N_C\geq0$, além de a carga permanecer sobre a plataforma. Para os dados de (b), $(M+m)g/3=mg$, resultando em $N_A=0$, $N_B=2mg$ e $N_C=mg$. Se $x>2a$ com $y=0$, a equação pediria $N_A<0$, fisicamente impossível. A plataforma começa a tombar em torno dos apoios $B$ e $C$. Em (c), escreva $x=r\cos\phi$ e $y=r\sin\phi$. A condição para $C$ em todas as direções é $r\leq3a$. Para $A$ e $B$, é necessário limitar o módulo máximo de $\cos\phi/2\pm\sin\phi/6$, cujo valor é $\sqrt{(1/2)^2+(1/6)^2}=\sqrt{10}/6$. Isso segue da identidade $A\cos\phi+B\sin\phi=\sqrt{A^2+B^2}\cos(\phi-\phi_0)$, e não exige derivar a expressão. Assim, $r\sqrt{10}/(6a)\leq1$ e $r_{\max}=6a/\sqrt{10}<3a$. O limite da plataforma e a condição de $C$ são satisfeitos. $A$ zera quando $\cos\phi=3/\sqrt{10}$ e $\sin\phi=1/\sqrt{10}$; $B$ zera na direção simétrica com cosseno negativo. O pé $C$ ainda tem reação positiva.