Questão 1 de Polinômios estilo ITA resolvida

Enunciado

Determine todos os polinômios mônicos $P\in\mathbb R[x]$, de grau três, cujas raízes sejam todas reais e que satisfaçam $P(1)=3,\quad P(-1)=1,\qquad P(P(0))=0.$ Para cada polinômio encontrado, apresente suas raízes e respectivas multiplicidades.

Resolução comentada

Resposta: $P(x)=x^3+2x^2$, com raízes −2 simples e 0 dupla; ou $P(x)=x^3+\frac52x^2-\frac12$, com raízes $-\frac12$, $-1-\sqrt2$ e $-1+\sqrt2$, todas simples.

Escreva $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$. As duas primeiras condições dão $1+a+b+c=3$ e $-1+a-b+c=1$. Subtraindo e somando, obtemos b = 0 e a + c = 2. Logo $P(x)=x^3+ax^2+c$, com c = 2 − a. A condição de composição é $P(c)=c^3+ac^2+c=c[c(c+a)+1]=c(2c+1)=0.$ Portanto c = 0 ou c = −1/2. No primeiro caso, a = 2 e $P(x)=x^2(x+2)$, dando raiz zero dupla e raiz −2 simples. No segundo, a = 5/2 e $P(x)=\left(x+\frac12\right)(x^2+2x-1).$ Suas raízes são −1/2 e $-1\pm\sqrt2$, todas reais e distintas. Ambos os polinômios verificam as condições; os dois casos esgotam as possibilidades porque a equação c(2c + 1) = 0 não tem outras raízes.