Questão 10 de Probabilidade estilo ITA resolvida

Enunciado

Uma caixa contém quatro cartões vermelhos e seis azuis, todos distintos. Um dos cartões azuis está marcado com a letra A. Para cada inteiro $k$ com $1\leq k\leq10$, retiram-se simultaneamente $k$ cartões, com todos os subconjuntos desse tamanho equiprováveis. Seja $p_k$ a probabilidade de haver exatamente dois cartões vermelhos na retirada, sabendo que o cartão A foi retirado. Determine todos os valores de $k$ que maximizam $p_k$ e calcule essa probabilidade máxima.

Resolução comentada

Resposta: $k=5$ e $k=6$; probabilidade máxima $10/21$.

Condicionando a retirada à presença de A, cada subconjunto de $k-1$ cartões dentre os nove restantes continua equiprovável: adicionar A é uma bijeção entre esses subconjuntos e as retiradas condicionadas. Restam quatro vermelhos e cinco azuis. Para exatamente dois vermelhos, escolhemos dois dos quatro vermelhos e $k-3$ dos cinco azuis restantes. Portanto, para $3\leq k\leq8$, $p_k=\frac{\binom42\binom5{k-3}}{\binom9{k-1}}.$ Para $k=1,2,9,10$, a probabilidade é zero, por falta de lugares para dois vermelhos ou por excesso de cartões obrigatoriamente vermelhos. Para $3\leq k\leq7$, os dois termos sucessivos são positivos e $\frac{p_{k+1}}{p_k}=\frac{8-k}{k-2}\cdot\frac{k}{10-k}.$ Os denominadores são positivos. Comparar a razão com 1 equivale a comparar $k(8-k)$ com $(k-2)(10-k)$; a diferença é $20-4k$. Assim, a razão é maior que 1 para $k<5$, igual a 1 para $k=5$ e menor que 1 para $k>5$. Os valores nulos exteriores não podem ser máximos. Logo os únicos índices de máximo são 5 e 6, e $p_5=\frac{6\cdot10}{126}=\frac{10}{21}=p_6.$