Questão 2 de Trigonometria estilo ITA resolvida

Enunciado

Determine todas as soluções $x\in[0,2\pi)$ da equação $\sin x+\sin2x+\sin3x=\cos x+\cos2x+\cos3x.$

Resolução comentada

Resposta: $\left\{\frac\pi8,\frac{5\pi}8,\frac{2\pi}3,\frac{9\pi}8,\frac{4\pi}3,\frac{13\pi}8\right\}$.

Pelas fórmulas de soma em produto, $\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x$ e $\cos x+\cos3x=2\cos2x\cos x$. A equação equivale a $(1+2\cos x)(\sin2x-\cos2x)=0.$ O primeiro fator se anula em $x=2\pi/3$ e $x=4\pi/3$. O segundo se anula quando $2x=\pi/4+k\pi$, ou $x=\pi/8+k\pi/2$. O intervalo exige $k=0,1,2,3$. As quatro soluções deste ramo não coincidem com as duas do primeiro. A fatoração é uma equivalência e não se dividiu por nenhum dos fatores; portanto as seis soluções listadas são completas.