Questão 4 de Logaritmos estilo ITA resolvida

Enunciado

Determine todos os valores reais de $x$ que satisfazem $\log_x(3x-1)+\log_{3x-1}x\leq\frac52.$

Resolução comentada

Resposta: $\left[\frac{3-\sqrt5}{2},\frac{7+\sqrt{13}}{18}\right]\cup\left(\frac23,1\right)\cup\left[\frac{3+\sqrt5}{2},+\infty\right).$

O domínio é $x>1/3$, $x\ne2/3$ e $x\ne1$. Ponha $t=\log_x(3x-1)\ne0$. A mudança de base dá $t+\frac1t\leq\frac52\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{(2t-1)(t-2)}{2t}\leq0,$ portanto $t<0$ ou $1/2\leq t\leq2$. Para $2/3<x<1$, os logaritmos de $x$ e $3x-1$ têm sinais opostos, logo $t<0$ e todo esse intervalo serve. Para $1/3<x<2/3$, a base $x$ está entre zero e um. Como o logaritmo é decrescente, $1/2\leq t\leq2$ equivale a $x^2\leq3x-1\leq\sqrt x$. A primeira impõe $x\geq(3-\sqrt5)/2$ nesse intervalo. Na segunda, pondo $u=\sqrt x>0$, temos $3u^2-u-1\leq0$, ou $x\leq(7+\sqrt{13})/18$. Os extremos pertencem ao intervalo e são admitidos. Para $x>1$, o logaritmo é crescente e precisamos de $\sqrt x\leq3x-1\leq x^2$. A primeira vale em todo o intervalo, pois $3x-1>2x>\sqrt x$. A segunda equivale a $x^2-3x+1\geq0$, impondo $x\geq(3+\sqrt5)/2$. Os três casos esgotam o domínio.