Questão 5 de Matrizes estilo ITA resolvida

Enunciado

Para $n\geq2$, considere a matriz $A_n=(a_{ij})$ de ordem $n$, definida por $a_{ij}=ij+i^2\delta_{ij},$ em que $\delta_{ij}=1$ se $i=j$ e $\delta_{ij}=0$ se $i\ne j$. Determine $\det A_n$ e o valor de $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij\,(A_n^{-1})_{ij}.$

Resolução comentada

Resposta: $\det A_n=(n+1)(n!)^2$; soma $n/(n+1)$.

Se $D=\operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)$ e J é a matriz cujas entradas são todas iguais a um, então $A_n=D(I+J)D$. Extraindo i de cada linha e j de cada coluna, $\det A_n=(n!)^2\det(I+J)$. Na matriz $I+J$, subtraia a última linha de cada uma das primeiras $n-1$ linhas. Essas linhas passam a ter 1 na posição diagonal e −1 na última coluna. Em seguida, some as primeiras $n-1$ colunas à última coluna: suas primeiras entradas tornam-se zero e a última torna-se $n+1$. A expansão pela última coluna fornece $\det(I+J)=n+1$. Isso também prova que a inversa existe. Como $J^2=nJ$, a multiplicação direta verifica $(I+J)^{-1}=I-\frac{J}{n+1}.$ Portanto $(A_n^{-1})_{ij}=(\delta_{ij}-1/(n+1))/(ij)$. A soma pedida é $n-n^2/(n+1)=n/(n+1)$.