Questão 6 de Números complexos estilo ITA resolvida

Enunciado

Determine todos os números complexos z que satisfazem $|z-1|=\sqrt3\,|z+1|,\qquad z^3\in\mathbb R.$

Resolução comentada

Resposta: $z\in\left\{-2-\sqrt3,-2+\sqrt3,\frac{-1+i\sqrt3}{2},\frac{-1-i\sqrt3}{2}\right\}$.

Para $z=x+iy$, o quadrado da primeira igualdade dá $(x-1)^2+y^2=3[(x+1)^2+y^2]$, ou $(x+2)^2+y^2=3.$ Essa circunferência não contém a origem e está inteiramente no semiplano $x<0$. Escreva $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, $r>0$. A condição $z^3\in\mathbb R$ exige $\theta=k\pi/3$. Como $x<0$, apenas as direções $\theta=2\pi/3,\pi,4\pi/3$ são possíveis. Na direção $\pi$, temos y = 0 e $(x+2)^2=3$, dando $x=-2\pm\sqrt3$. Nas outras duas direções, $x=-r/2$ e $y=\pm\sqrt3r/2$. Substituindo na circunferência, obtemos $r^2-2r+1=0$, logo $r=1$. Os dois valores adicionais são $(-1\pm i\sqrt3)/2$. Todos verificam as condições, e a análise das seis direções demonstra a completude.