Questão 7 de Geometria analítica estilo ITA resolvida

Enunciado

Sejam P e Q pontos distintos da parábola $y^2=8x$ cujas retas tangentes são perpendiculares. Essas tangentes intersectam-se em T, e M é o ponto médio de PQ. Determine o lugar geométrico de M e a menor área possível do triângulo PQT. Justifique que todos os pontos do lugar obtido são efetivamente atingidos.

Resolução comentada

Resposta: Lugar: $x=y^2/4+2$, com $y\in\mathbb R$. Área mínima: 16 unidades quadradas.

Parametrize $P=(2t^2,4t)$ e $Q=(2u^2,4u)$. A tangente no parâmetro t é $ty=x+2t^2$, como se verifica substituindo na parábola e obtendo uma raiz dupla. Em t = 0 a tangente é vertical; nenhuma tangente finita da parábola é horizontal, portanto esse caso não participa de um par perpendicular. Para t e u não nulos, os coeficientes angulares são $1/t$ e $1/u$. Assim, a perpendicularidade equivale a $tu=-1$. O ponto médio é $M=(t^2+u^2,2(t+u))$. Escrevendo $M=(X,Y)$, temos $X=(t+u)^2-2tu=Y^2/4+2$. Reciprocamente, para qualquer $Y\in\mathbb R$, as raízes de $v^2-(Y/2)v-1=0$ são reais, distintas e não nulas. Elas fornecem parâmetros t e u com soma $Y/2$ e produto −1, construindo o par requerido e o ponto M. Logo nenhuma parte da parábola obtida deve ser excluída. A interseção das tangentes é $T=(2tu,2(t+u))$. Calculando o determinante dos vetores $Q-P$ e $T-P$, a área é $2|t-u|^3$. Como $(t-u)^2=(t+u)^2-4tu=(t+u)^2+4\geq4$, a área é pelo menos 16. A igualdade é atingida por $\{t,u\}=\{1,-1\}$, que produz $P=(2,4)$, $Q=(2,-4)$ e $T=(-2,0)$.