Questão 8 de Geometria plana estilo ITA resolvida

Enunciado

O triângulo ABC tem lados $BC=13$, $CA=14$ e $AB=15$. Sejam D, E e F, respectivamente, os pés das alturas traçadas de A, B e C.  Calcule o raio da circunferência inscrita no triângulo DEF.

Resolução comentada

Resposta: $99/52$ unidades de comprimento.

O semiperímetro de ABC é 21; por Heron, sua área é $\Delta=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$. Pela lei dos cossenos, $\cos A=\frac35,\qquad\cos B=\frac{33}{65},\qquad\cos C=\frac5{13}.$ Todos são positivos, portanto o triângulo é agudo e os três pés pertencem aos lados. As relações métricas das projeções dão $EF=13\cos A$, $FD=14\cos B$ e $DE=15\cos C$. Por exemplo, AE = AB cos A, AF = AC cos A, e o triângulo AEF é semelhante a ABC com razão cos A, o que demonstra a primeira relação; as outras seguem ciclicamente. O perímetro de DEF é $p=13\frac35+14\frac{33}{65}+15\frac5{13}=\frac{1344}{65}.$ As áreas de AEF, BFD e CDE são $\Delta\cos^2 A$, $\Delta\cos^2 B$ e $\Delta\cos^2 C$. Portanto a área restante é $\Delta(1-\cos^2 A-\cos^2 B-\cos^2 C)$. A identidade $\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C+2\cos A\cos B\cos C=1$, obtida substituindo $C=\pi-A-B$, permite escrevê-la como $\Delta_o=2\Delta\cos A\cos B\cos C=\frac{16632}{845}.$ Se r é o raio inscrito, dividir DEF nos três triângulos de vértice no incentro fornece $\Delta_o=rp/2$. Assim, $r=2\Delta_o/p=99/52$.