Questão 10 de Circunferência, reta e comprimento de corda estilo UNICAMP resolvida

Enunciado

No plano cartesiano, um túnel retilíneo segue a reta $3x+4y=15$ e atravessa a região circular fechada descrita por $x^2+y^2\leq25$. As coordenadas são medidas em metros. O comprimento do trecho do túnel situado dentro da região circular é

• A: 4 m.
• B: 8 m.
• C: 6 m.
• D: 10 m.

Resolução comentada

Resposta: B

A circunferência tem centro na origem e raio 5 m. A distância do centro à reta é $ d=\frac{|15|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3\ \text{m}. $ A perpendicular do centro à corda corta-a ao meio. Pelo teorema de Pitágoras, sua meia-corda mede $\sqrt{5^2-3^2}=4$ m, de modo que o trecho inteiro mede 8 m. Usar o raio ou o diâmetro como comprimento da corda ignora que a reta passa a uma distância de 3 m do centro.